1. 대수 (Algebra, 代數)
ㅇ 수 또는 수를 대신한 문자 및 그와 관련된 연산과 그 관계를 다룸
- 사칙연산(가감승제),거듭제곱근 연산,논리 연산 등을 이용한
- 식 표현 또는 방정식의 풀이 등
2. 대수학 그 역사적 변천
※ 처음에는 량(量)을 헤아리는 수(數)로써 사용되다가, 이를 기호를 써서 표기한 후,
- 그 자체로 대상이 되어, 비슷한 것(특성)들로 엮어가며, 체계를 만들어 나감
ㅇ 대수학은, 고대에는 수 하나하나를 나타내는 대신에 문자로 대응시켜,
- 수의 관계, 성질, 계산(4칙연산)의 법칙 등을 다루는 기호적인 수학의 한 분야를 말하였고,
* 대수(代數) : 수를 대신한다는 뜻
. 대수학(代數學) : 기호(記號,Symbol)의 학문
. 기하학(幾何學) : 도형(圖形,Figure)의 학문
* 대수(Algebra) 어원 : 9세기 바그다드의 수학자 알 콰즈미리가 사용한 al-jabr에서 유래
. 방정식을 풀기 위해 항을 묶는다 (즉, 재조합) 한다는 뜻
ㅇ 그후 18세기 말경까지, 미지수를 포함하는 다항 방정식의 풀이 해법 연구를 중심으로 발전하여,
- Recorde(영국)가 1557년 등호(=) 제안
- Vieta(프랑스)가 1591년 미지수,상수 제안
. 미지수 : 알파벳 끝 z 가까운 x,y,z 등
. 상수 : 알파벳 시작 a 가까운 a,b,c 등
* 복잡한 문제를 기호로 번역(변환)시켜, 이를 풀이에 응용하는 등
- 다항 방정식의 근의 존재성과 성질, 해법 등에 관심을 갖음
ㅇ 19세기 수학에서는, 엄밀성 강화, 추상화 경향 출현, 공리적 방법의 부활 등이 나타남
- 대수학의 고전적 의미 : 다항 방정식의 풀이 기법(해법)을 다루는 학문
- 대수학의 현대적 의미 : 연산이 정의되어 있는 집합의 구조를 체계적으로 다루는 학문
. 문제 풀이 보다는 아이디어와 일반적 원리를 우선 다룸
ㅇ 점차, 군(Group),환(Ring),체(Field) 등 대수적 구조(Algebraic Structure)를 다루는
추상적,공리적인 성격의 추상대수학(현대대수학)으로 변모함
ㅇ 20세기초, 공리계(Axiomatic System)의 연구 발전으로,
- 추상대수학 분야가 해석학 및 기하학 분야 보다 그 비중이 같거나 상회하기 시작함
3. 대수학의 기본 정리
ㅇ 차수가 1 이상이고 미지수가 하나인, 복소수 계수 다항식은, 적어도 하나의 복소수 근을 갖음
- 즉, 복소수 계수를 갖는 모든 방정식의 해를 풀려면,
. 복소수 범위의 수 만 있으면 충분함
ㅇ 사실상, 대수학의 기본 정리는, 다항식의 근의 존재성에 관한 정리로써,
- 결론은, 방정식의 해의 존재성에 관한 한, 복소수 전체의 수 집합이면 충분하다는 것임
- 따라서, 복소수 전체로써의 수 집합(해 집합)은 대수적으로 닫혀있음
. [참고] ☞ 대수적 수, 초월 수 참조
4. 대수학 구분
ㅇ 고전 대수학 (~ 19세기 초)
- 4차 이하 다항 방정식의 풀이, 방정식의 표기, 그 근들의 성질 및 존재성,
그 근들이 속한 다양한 수체계들을 지배하는 법칙 등
ㅇ 기초 대수학
- 산술 또는 방정식 풀이와 관련된 수학 분야
. 주로, 중,고교에서 다뤄짐
ㅇ 선형 대수학 (Linear Algebra)
- 벡터, 행렬, 벡터 공간 및 그 선형 변환(1차 변환) 등에 관한 이론을 다루는
대수학의 한 분야
ㅇ 정수론 (Number Theory)
- 정수 및 그들의 성질을 연구
ㅇ 추상 대수학 (Abstract Algebra)
- 어떤 대수적 체계 내에서 연산들이 불변인 성질을 규명하는 학문
- [참고] ☞ 대수 구조 ( 군, 환, 체 ) 참조