1. 벡터 공간 (Vector Space)
ㅇ 어떤 원소들의 집합 위에, 덧셈과 스칼라배 연산이 정의되며,
이를통해 수학적 체계(대수적 구조)를 형성하는 추상적 공간
2. 벡터 공간의 의미
ㅇ (기초적 의미) : 현실 공간을 추상화시킨 것
- 벡터 공간은 현실 공간의 성질(주로,선형적인 성질)을 특정 수준으로 추상화시킨 것
. 즉, 유클리드 공간을 적절하게 추상화, 일반화시킨 공간 이라고 할 수 있음
ㅇ (공리적 의미) : 아래 3.항과 같은 공리를 만족하는 것
- 10가지 벡터공간 공리(Axiom)를 만족하며 2가지 연산(덧셈,스칼라곱셈)이 가능한 집합
. 2개 연산(덧셈 및 스칼라배)으로 8개 연산법칙이 성립되는 공간
ㅇ (`벡터`,`공간`의 의미)
- 벡터 : 대상되는 집합의 원소를 표현하는 추상적 개념
. 굳이, 방향 및 크기를 나타내는 물리학적/기하학적 벡터로 제한시킬 필요 없음 ☞ n 순서쌍
- 공간 : 기하학적 도형(圖形) 및 대수학적 수(數)의 성질 모두를 갖는 수학적 개념
. 만일, 공간이 대수적 규칙을 따르지 않는다면, 단지 도형,수들이 흩뿌려진 것에 불과함
3. 10가지 벡터공간 공리(Axiom)
ㅇ 덧셈 관련
- (1) 벡터공간 V는 덧셈에 대해 닫혀있음/닫힘성 (closed under addition)
. 즉, a 및 b가 V에서 존재하면, a + b 도 V에서 존재함
- (2) (가환성,commutativity) a + b = b + a
- (3) (결합성,associativity) (a + b) + c = a + (b + c)
- (4) (영 벡터가 존재함) a + 0 = a
. 모든 a에 대해 만족스러운 유일한 영 벡터가 존재함
- (5) (덧셈 역원이 존재함) a + (-a) = 0
. 각 원소 마다 덧셈 역원이 유일하게 존재함
ㅇ 스칼라배 관련
- (6) 벡터공간 V는 스칼라배에 대해 닫혀있음/닫힘성 (closed under scalar multiplication)
. 즉, a가 V에서 존재하고 α가 스칼라이면, αa도 V에서 존재함
- (7) (스칼라 결합성) α(βa) = (αβ)a
- (8) (단위원) 1 a = a
- (9) (분배성,distributivity) α (a + b) = αa + αb
- (10) (분배성,distributivity) (α + β) a = αa + βa
4. 벡터 공간의 주요 참고사항
ㅇ 벡터공간 그 자체로는 길이,각도 등에 대한 개념이 없음
- 길이,각도 등은 내적이 관계될 때 만 가능 ☞ 내적공간 참조
ㅇ 보다 작은 벡터공간 있음 : 부분 공간
- 그 기본구조를 그대로 유지하며, 보다 작은 벡터공간 ☞ 부분공간 참조
ㅇ 용어상 유의점 : 선형 벡터공간
- 벡터공간을 간단히 선형공간 또는 선형 벡터공간 이라고 하기도 하나,
. 선형 벡터공간은 전체 벡터공간의 일부인 부분공간 임
ㅇ 벡터 공간의 생성 ☞ 생성(Span) 참조
- 주어진 유한개의 기저 벡터들에 의해 벡터공간이 생성(Span)이 됨
. 즉, 기저벡터들의 일차결합으로 유일하게 나타낼 수 있는 공간
ㅇ n차원 벡터공간
- 모든 n 차원 벡터들을 성분으로 이루어지는 전체 집합 ☞ n차원 공간 참조
. 例) n 차원 실수 공간 Rn
.. n개 실수 성분으로 이루어진 모든 n 순서쌍 (x1,x2,...,xn) 벡터들의 집합
5. 벡터공간의 주요 例
ㅇ (실수) 실수 원소를 갖는 벡터로 이루어진 공간은 벡터공간임 : Rn
- 두 실수의 합도 곱도 실수가 되므로
ㅇ (다항식) 다항식도 벡터공간임 : Pn
- 두 다항식의 합도 다항식, 다항식의 상수배도 다항식이 되므로
ㅇ (함수) 연속 함수도 벡터공간임 : C(-∞,∞)
- 연속 함수의 합도 연속 함수, 연속 함수에 상수배를 해도 연속함수가 되므로
ㅇ (행렬) 행렬도 벡터공간임
- 연립 일차 방정식은 행렬로 나타내어 풀 수 있으며,
- 연립 일차 방정식의 해 집합은 벡터 공간이 됨