Vector Space   벡터 공간

(2020-09-24)

Linear Vector Space, 선형 벡터공간, Linear Space, 선형 공간, Vector Space Axiom, 벡터공간 공리


1. 벡터 공간 (Vector Space)

  ㅇ 어떤 원소들의 집합 위에, 덧셈과 스칼라배 연산이 정의되며,
     이를통해 수학적 체계(대수적 구조)를 형성하는 추상적 공간


2. 벡터 공간의 의미

  ㅇ (기초적 의미) : 현실 공간추상화시킨 것
     - 벡터 공간은 현실 공간의 성질(주로,선형적인 성질)을 특정 수준으로 추상화시킨 것
        . 즉, 유클리드 공간을 적절하게 추상화, 일반화시킨 공간 이라고 할 수 있음

  ㅇ (공리적 의미) : 아래 3.항과 같은 공리를 만족하는 것
     - 10가지 벡터공간 공리(Axiom)를 만족하며 2가지 연산(덧셈,스칼라곱셈)이 가능한 집합
        . 2개 연산(덧셈 및 스칼라배)으로 8개 연산법칙이 성립되는 공간

  ㅇ (`벡터`,`공간`의 의미)
     - 벡터 : 대상되는 집합의 원소를 표현하는 추상적 개념
        . 굳이, 방향 및 크기를 나타내는 물리학적/기하학벡터로 제한시킬 필요 없음   ☞ n 순서쌍
     - 공간 : 기하학도형(圖形) 및 대수학수(數)의 성질 모두를 갖는 수학적 개념
        . 만일, 공간이 대수적 규칙을 따르지 않는다면, 단지 도형,수들이 흩뿌려진 것에 불과함


3. 10가지 벡터공간 공리(Axiom)

  ㅇ 덧셈 관련
     - (1) 벡터공간 V는 덧셈에 대해 닫혀있음/닫힘성 (closed under addition)
        . 즉, ab가 V에서 존재하면, a + b 도 V에서 존재함
     - (2) (가환성,commutativity)  a + b = b + a
     - (3) (결합성,associativity)  (a + b) + c = a + (b + c)
     - (4) (영 벡터가 존재함)   a + 0 = a
        . 모든 a에 대해 만족스러운 유일한 영 벡터가 존재함
     - (5) (덧셈 역원이 존재함)  a + (-a) = 0
        . 각 원소 마다 덧셈 역원이 유일하게 존재함

  ㅇ 스칼라배 관련
     - (6) 벡터공간 V는 스칼라배에 대해 닫혀있음/닫힘성 (closed under scalar multiplication)
        . 즉, a가 V에서 존재하고 α가 스칼라이면, αa도 V에서 존재함
     - (7) (스칼라 결합성)  α(βa) = (αβ)a
     - (8) (단위원)  1 a = a
     - (9) (분배성,distributivity)  α (a + b) = αa + αb
     - (10) (분배성,distributivity)  (α + β) a = αa + βa


4. 벡터 공간의 주요 참고사항벡터공간 그 자체로는 길이,각도 등에 대한 개념이 없음 
     - 길이,각도 등은 내적이 관계될 때 만 가능            ☞ 내적공간 참조

  ㅇ 보다 작은 벡터공간 있음
     - 그 기본구조를 그대로 유지하며, 보다 작은 벡터공간  ☞ 부분공간 참조

  ㅇ 용어상 유의점 : 선형 벡터공간
     - 벡터공간을 간단히 선형공간 또는 선형 벡터공간 이라고 하기도 하나, 
        . 선형 벡터공간은 전체 벡터공간의 일부인 부분공간 임

  ㅇ 벡터 공간의 생성                                    ☞ 생성(Span) 참조
     - 주어진 유한개의 기저 벡터들에 의해 벡터공간이 생성(Span)이 됨
        . 즉, 기저벡터들의 일차결합으로 유일하게 나타낼 수 있는 공간

  ㅇ n차원 벡터공간
     - 모든 n 차원 벡터들을 성분으로 이루어지는 전체 집합n차원 공간 참조
        . 例)  n 차원 실수 공간  Rn
           .. n개 실수 성분으로 이루어진 모든 n 순서쌍 (x1,x2,...,xn) 벡터들의 집합


5. 벡터공간의 주요 例

  ㅇ (실수) 실수 원소를 갖는 벡터로 이루어진 공간은 벡터공간임 : Rn 
     - 두 실수의 합도 곱도 실수가 되므로

  ㅇ (다항식) 다항식벡터공간임 : Pn 
     - 두 다항식의 합도 다항식, 다항식상수배도 다항식이 되므로

  ㅇ (함수) 연속 함수벡터공간임 : C(-∞,∞)
     - 연속 함수의 합도 연속 함수, 연속 함수상수배를 해도 연속함수가 되므로

  ㅇ (행렬) 행렬벡터공간임



Copyrightⓒ   차재복 (Cha Jae Bok)    " 정보통신 및 과학기술 지식을 간결하게 정리,체계화시키고 있습니다. "