Norm   노름, 놈, 벡터의 길이, 벡터의 크기

(2020-05-10)

크기 [비교], 길이 [비교], Euclidean Norm, 유클리드 노름, Euclidean Length, 유클리드 길이

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[벡터의 크기,각도,거리,직교,투영]
벡터의 크기,각도,거리,직교,투영  1. 내적
  2. 크기(노름)
  3. 거리
  4. 직교
  5. 외적
  6. 투영
  7. 슈바르츠 부등식

1. 크기(Magnitude)/노름(Norm)에 대한, 물리적,수학적 의미물리학에서는, 크기를 파악/생각하기는 아래 처럼 비교적 쉽지만,
     - 즉, 물리량에서 크기(노름) 例)
        . 변위 벡터에서 변위 크기(Displacement)
        .  벡터에서  강도(Strength)
        . 속도 벡터에서 그 크기인 속력(Speed) 등

  ㅇ 수학에서는, 모든 것을 로써 추상화시키고 그에맞춰 체계/구조를 세움으로 인해,
     - 크기(노름) 개념을 별도로 엄격하게 정의해 주어야 함


2. [수학]  크기/강도/길이의 개념

  ㅇ 노름 (Norm) 이란?
     - 벡터/함수/신호 등의 크기(강도,길이)의 척도를 나타내는 수학적인 용어

  ㅇ 유클리드 노름(Euclidean Norm) = 유클리드 길이(Euclidean Length)
     - n차원 실수 공간 Rn 에서,
        . `원점에서 임의 점까지의 거리` 또는 `벡터의 크기(길이)`


3. [수학]  벡터,함수/신호 등에서, 노름의 정의

  ㅇ `노름(크기/길이)`는, 자기 자신과의 내적에 의해 구해짐
     - 즉,  {# \| \mathbf{x} \| = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} #}

  ㅇ [벡터]
     - n차원 벡터공간에서 벡터의 크기 
        
[# ||\mathbf{x}|| = \sqrt{\sum^n_{i=1}|x_i|^2} = \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2} \\ ||\mathbf{x}||^2 = \;<\mathbf{x},\mathbf{x}> \;= \;\mathbf{x}^T\mathbf{x} = \sum^n_{i=1}|x_i|^2 #]
. ∥x∥는 원점에서 점 (x₁,x₂,...,xn)까지의 거리 . 벡터의 각 성분들의 제곱의 합에 대한 제곱근 ㅇ [함수/신호] - 신호 크기의 척도 ☞ 신호 공간 참조 4. [수학] 노름의 성질 ㅇ `0`의 존재 (Zero Existence) - ∥x∥ = 0 iff x = 0 ㅇ 양의 성질 (Positiveness,양수성) - ∥x∥ ≥ 0 (등호 성립하려면 x=0) ㅇ 스칼라곱셈 (Scalar Multiplication) - ∥α x∥ = |α| ∥x5. [수학] 노름의 관계식삼각 부등식 (Triangular Inequality) - ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ ㅇ 피타고라스 정리 (Pythagorean Theorem) - ∥x + y2 = ∥x2 + ∥y2 . 직각삼각형에서 세 변의 길이 사이의 관계를 밝히는 정리 ㅇ 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwartz Inequality) - |<x,y>| ≤ ∥x∥·∥y


[벡터의 크기,각도,거리,직교,투영] 1. 내적 2. 크기(노름) 3. 거리 4. 직교 5. 외적 6. 투영 7. 슈바르츠 부등식

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