Basis   기저 (Basis), 기저 집합

(2020-04-14)

Basis Vector, 기저 벡터, Basis Function, 기저 함수, Basis Signal, 기저 신호, Standard Basis, 표준 기저, Orthogonal Basis, 직교 기저, Orthonormal Basis, 정규직교 기저

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벡터공간 특성  1. 기저
  2. 차원
  3. 랭크
  4. 생성
  5. 1차 결합
  6. 1차 독립

1. 기저 (基底, Basis) 수학공간생성하는 최소의 집합
     - 가장 적은 수로써 1차 독립을 이루며 공간생성할 수 있는 것들

  ㅇ 벡터공간 내에서 기저 벡터집합은,
     - ① 선형 독립이고, ② 전체 공간생성(Span) 하게 됨

  ㅇ 기저의 특징
     - 동일 공간에서도 기저를 취할 수 있는 경우는 여러가지 임


2. 기저 벡터, 기저 함수

  ㅇ 기저 벡터(Basis Vector) 
     - 주어진 벡터공간(벡터 부분공간)을 생성할 수 있는 기저 요소를 이루는 벡터

     - 한편, 차원(Dimension) 이란?  =>  기저 벡터의 수
        . 차원 : 주어진 벡터공간(벡터 부분공간)을 생성하는데 수많은 벡터들이 가능하지만, 
                 그 공간을 생성하는데 필요한 최소개의 기저벡터의 수

        . 벡터공간 V의 생성 : {# \mathbf{v} = c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots
                                              +c_n\mathbf{v}_n #}
        . 기저 벡터의 집합 : {#\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}#}
        . 여기서, 기저 벡터의 수 = 차원 = n

  ㅇ 기저 함수(Basis Function) 또는 기저 신호(Basis Signal)
     - 주어진 함수공간/신호공간을 생성할 수 있는 기저 요소를 이루는 함수/신호
        . N차원 함수공간에서 기저함수에 의한 함수 표현 例
            
[# s_i(t) = \sum^{N}_{j=1} s_{ij} \, φ_j(t) \quad (i = 1, \cdots \ , M) #]
.. 함수 집합 : {# \{ s_i(t) \; | \; i = 1, \cdots ,M \} #} .. 정규 직교 기저 함수 : {# \{ φ_j(t) \; | \; j = 1, \cdots ,N \} #} . 푸리에 변환에서 기저 함수 {# φ_j(t) #}의 例 : 정현파함수(또는 복소지수함수) 등 3. 좌표계 표현 방식 ㅇ 통상적인 좌표계 표현 (유클리드 공간) ☞ 직교 좌표계 참조 - 좌표축이 미리 정해진/고정된, 일반적으로 사용되는 좌표계 . 각각의 축 또는 축평면이 직교성을 유지하는 등 ㅇ 일반화된 벡터공간에서 좌표계 표현 - 기저 벡터에 의한 좌표계 표현 ☞ 기저벡터 좌표계 참조 . 좌표계를 고정된 좌표축이 아닌, 기저벡터를 사용하여 보다 적절하게 규정 가능함 - 기저 또는 기저벡터가 좌표벡터의 개념을 통해 좌표를 규정할 수 있음 ☞ 좌표벡터 참조 ※ 한편, 좌표 변환은, - 행렬 곱셈(좌표변환 행렬),변수 변환 등과 동등4. `표준기저`, `직교기저`, `정규직교기저` 비교 ㅇ 표준 기저 (Standard Basis) => 표준 단위벡터 (Standard Unit Vector) - 많은 가능한 기저들 중 성분 1개 만이 1 이고, 나머지 성분이 모두 0 인 표준적인 벡터 . 例) R3의 표준기저 e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) ㅇ 직교 기저 (Orthogonal Basis) - 기저이면서 직교하는 부분집합 . 서로다른 두 벡터가 항상 수직인 벡터들 ㅇ 정규직교 기저 (Orthonormal Basis) - 기저이면서 직교하고 그 크기가 모두 1인 부분집합 . 각 벡터가 모두 단위벡터이고 서로 수직인 벡터들 .. 例) 정규직교기저의 하나의 사례 => 표준 기저


[벡터공간 특성] 1. 기저 2. 차원 3. 랭크 4. 생성 5. 1차 결합 6. 1차 독립

    요약목록
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