Orthogonal, Orthogonality   직교성, 직교

(2020-09-01)

1. 직교성(Orthogonality)

  ㅇ 의미
     - 수학적으로, 각 요소들이 서로 독립적임을 나타내는 용어
     - 일반적으로, 신호/현상 상호 간에 전혀 관련성이 없음을 의미

  ※ `직교`의 어원
     - 그리스어 `orthos` : 곧은(straight),옳은/정확한(right,true),직각을 이루는 등을 의미
     - 직교(直交) : `직각(直角)으로 만나다(交)`의 뜻

  ※ `직각`,`직교` 용어 차이
     - 둘 다 같은 의미를 갖으나,
     * 직각(perpendicular)은, 기하학적인 용어이고, 
     * 직교(orthogonal)는, 기하학대수학 등 모두를 포괄하는 광의의 용어

  ※ `직교성`,`상관성` 용어 차이
     - `직교성`  <-(반대)->  `상관성`
        . 통상, 수치 `0`에 가까우면 직교적이고, 수치 `1`에 가까우면 상관적 이라고 말함

  ※ `직교성`,`상관성` 등 비교의 개념에 대한 폭넓은 이해는,  ☞ 비교(같음/닮음/다름) 참조


2. 벡터, 함수 등에서 직교성 판단벡터 직교성의 판단
     -  두 벡터내적(Inner Product/Dot Product)이 `0`
        .  {# < \mathbf{x},\mathbf{y} > \;=\; \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \;=\; \mathbf{x}^T \mathbf{y} \;=\; 0 #}

     * `내적`이라는 수치값에 의해, 
        . `벡터`가 비로소 기하학적인 의미(크기,각도,거리 등 스칼라량)를 부여 받음

     * 만일, 두 벡터가 직교하면, 다음의 피타고라스 정리가 성립함
        .  {# || \mathbf{u} + \mathbf{v} ||^2 = ||\mathbf{u}||^2 + ||\mathbf{v}||^2 #}
 
  ㅇ 함수 또는 신호 직교성의 판단
     - 두 함수를 곱하여 적분한 결과가 `0`
        . 실수 함수
          
        . 복소수 함수
          

     - 유한구간 (a,b)에서의 직교성
        

     * 대표적인 직교성 검토 例) (정현파 신호,복소지수 신호)
        행렬 직교성의판단
     - 두 행렬 간의 행렬 곱셈한 결과가 `0 벡터`
        .  A ·B = 0


3. 직교 집합, 직교 공간 이란?

  ※ ☞ 직교 집합(Orthogonal Set), 직교 공간(Orthogonal Space) 참조
     - 집합 : 범위가 확정된, 구체적인 대상이 정해진 어떤 요소들의 모음
     - 공간 : 집합의 요소들이 어떤 대수적 구조를 갖는 틀 내에서 그려내는 공간
     - 생성 : 집합이 어떤 규칙에 따라 공간생성함
     - 직교 : 구성 요소들 간에 서로 독립적/관계없음


4. 분야별 직교성 의미

  ㅇ [신호 해석 분야]  `직교(直交)`
     - 어떤 신호들이 무리를 이루고 있을 때 이 무리에 속한 임의의 두 신호를 선택하더라도,
     - 이 두 신호가 서로 직교함(독립적임) 
        . 어느 하나의 신호라도 신호 무리들 중 다른 신호들의 결합된 형태로 표현 못함
           .. 직교 신호 例) cos (2πfct) 및 cos (2πfct + 90˚) = - sin (2πfct)

  ㅇ [푸리에 급수]  `신호푸리에급수 표현`
     - 직교기저 함수정현파 또는 지수신호들의 무한 집합을 이용하여,
     - 주기신호무한급수 형태로 표현

  ㅇ [통신 변조 분야]  `동위상 (In-phase)` 및 `직교위상 (Quadrature)`
     - 위상이 상호 직각(90˚)으로 직교한다는 의미로써, 
     - 동위상(In-phase) 및 직교위상(Quadrature) 으로 구분 가능
     * [참고] ☞ 직교위상변조(QM), 복소포락선, 직교위상천이변조(QPSK) 등 참조

  ㅇ [코드 분야]  `직교 코드 (Orthogonal Code)`
     - 서로 다른 코드 사이에 상호상관이 0 인 코드를 말함 ☞ 왈쉬코드(Walsh Code) 참조



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