Ring (환), Ring Axiom   환 (Ring), 환 공리

(2021-08-26)


1. 환 (環, Ring) 이란?

  ㅇ 어떤 집합 R 및 그 집합 위에 2개의 이항연산(덧셈,곱셈)이 정의되는,
     - 가장 일반적인 대수 구조
     - 여기서, 덧셈,곱셈은 통상의 사칙연산과 달리 정의하여도, 환이 될 수 있음

  ㅇ 환의 표기 : `( R, +, ∙)` 또는 `< R, +, ∙ >` 또는 `환 R`
     - 곱셈 기호 ·는 생략하는 것이 관례임


2. 환(環)의 공리(Axiom)

  ㅇ 덧셈(+) 연산에 대해  :  ( R, + )는 덧셈에 대한 가환군(아벨군)
     - ①  닫혀있음 (closure)
     - ②  덧셈 항등원(`0`)이 존재 (identity)
        .  a + 0 = 0 + a = a
     - ③  각 성분에 대해 역원이 존재함 (inverse)
        .  a + (-a) = (-a) + a = 0
     - ④  모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associative)
        .  (a + b) + c = a + (b + c)
     - ⑤  모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutative)
        .  a + b = b + a

  ㅇ 곱셈(·) 연산에 대해  :  ( R, · )
     - ⑥  닫혀있음 (closure)
     - ⑦  모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associative)
        .  (a·b)·c = a·(b·c)
     * (곱셈 연산에 대해서는, 교환법칙,항등원,역원 같은 제약 없음)

  ㅇ 덧셈(+) 및 곱셈(·) 연산에 대해  :  ( R, +, · )
     - ⑧  덧셈에 대한 곱셈 연산분배법칙이 성립 (distributive)
        .  a·(b + c) = a·b + a·c   (좌 분배 법칙)
        .  (a + b)·c = a·c + b·c   (우 분배 법칙)


3. 환, 가환군(아벨군),  비교

  ㅇ 환을 공리와 비교 표현하면,
     - 덧셈에 대해서는 즉, ( R, + )는 가환군이고,
     - 곱셈에 대해서는 즉, ( R, ·)는 결합법칙이 성립하고,
     - 덧셈 및 곱셈에 대해서는, 분배법칙이 성립함
     * 즉, 환은, + 에 대해 가환군, · 에 대해 반군을 이루는 대수 구조 임

  ㅇ 한편, 환은, 가장 일반적인(제약이 적은) 또한 기초적인 대수 구조로써, 
     - 특히, 곱셈에서, 항등원 존재,역원 존재,교환법칙 성립과 같은 제약을 두지 않음
        .. 즉, 곱셈에서, 항등원을 요구 안하므로, 역원 존재 필요 없으며,
        .. 또한, 곱셈에서, 교환법칙 성립도 필요 없음
     - 통상, 나눗셈을 제외한, 덧셈,뺄셈,곱셈이 자유로운 대수구조 임

  ㅇ 만일, 
     - 곱셈의 교환법칙까지 성립해야 한다면, `가환환` 이라고 함
     - 곱셈의 항등원까지 필요하면, `단위원을 갖는 환(단위환)` 이라고 함
     - 이들에 더해, 곱셈의 역원 존재까지도 포함시켜야 한다면, `` 이라고 함


4. 환의 例 정수 환(Integer Ring) (Z,+,∙)
     - 정수의 덧셈과 곱셈에 대해 항등원을 갖는 가환환
     - 한편, 정수환은,
        . 정역이긴 하지만,
        . 는 아님 (∵ 곱셈 역원이 존재 않음)
  ㅇ 유리수 환 (Q,+,∙)
  ㅇ 실수 환 (R,+,∙)
  ㅇ 복소수 환 (C,+,∙)
  ㅇ 짝수집합 환 (2Z,+,∙)
  ㅇ 행렬 환 (Mn(R),+,∙)
  ㅇ 다항식 환(Polynomial Ring) R[x]


5. 환의 종류

  ※ ☞ 환의 종류 참조
     - 2개 이항연산을 갖는 가장 일반적인 대수 구조로써의 환은,
     - 추가적인 조건이 부여됨에 따라, 더 작은 또다른 환의 형태들이 정의됨
        . 가환환, 단위환, 정역, 



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