Complex Number   복소수

(2021-01-13)

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1. 복소수, 복소 변수 이란?

  ㅇ 복소수 (Complex Number)   :  두 실수순서쌍(Ordered Pair)에 의한 수(數)
     - 실수와 허수 모두를 포함
     - `두 실수순서쌍 (a,b)` 또는 `실수와 허수의 합`으로 표현 가능
        . z = a + jb 

  ㅇ 복소 변수 (Complex Variable)  :  두 실수 변수순서쌍에 의한 복소수 변수 
     -  z = (x,y) 


2. 복소수의 표현, 도시(圖示), 용어

  ㅇ 복소수 표현
     - z = a + jb 
        . a,b는, 실수 (Real Number)
        . jb는, 허수 (Imaginary Number)
           .. 제곱하면 음수가 되는 수. (jb)2 = -b
           .. 실수와 j의 곱 
        . j는, j=√-1 꼴로 나타내는, 허수 단위 (Imaginary Unit) 
           .. 제곱하면 -1 이 되는 수 (즉, -1의 제곱근)
           .. a + jb 와 같이 복소수를 이루는(표현하는) 구성 요소
        . b가 0 이면, 실수 (Real Number)
        . a가 0 이면, 순 허수 (Pure Imaginary Number)

  ㅇ 복소수 도시(圖示)
     - 복소 평면 상에서 한 점으로 표현이 가능
     - 2차원 공간 상에서의 벡터와 유사
        

  ㅇ 복소수 용어
     -  r = √(x2 + y2) : 복소수 크기(Magnitude) 또는 절대값(Modulus),
     -  θ = arg z : 편각(Argument)
     -  Re(z) : 실수부(Real Part), r cosθ
     -  Im(z) : 허수부(Imaginary Part), r sinθ
     -  j=√-1 : 허수 단위 (Imaginary Unit)


3. 복소수 표현 방식의 구분

  ㅇ 표현 방식 구분
      
     - 직교좌표형 (Cartesian Form)      :   z = x + jy
        . 특징 : 덧셈이 쉬움 (각 성분별로 더하기 만 하면 됨)
           .. (x1 + y1) + j(x2 + y2)
     - 극좌표형/극형식 (Polar Form)     :   z = r ∠θ = r (cosθ + j sinθ)
     - 복소지수형 (Complex Exponential) :   z = r e
        . 특징 : 곱셈이 쉬움 (각 성분별로 크기는 곱하고, 각도는 더하면 됨)
           .. 

  ㅇ 위 형태들 간의 상호 변환 공식 :  Euler 공식을 활용
     -   e = cos θ + j sin θ


4. 공액 복소수/켤레 복소수 (Conjugate)

  ㅇ 모든 복소수는 공액(컬레) 복소수를 갖음

  ㅇ 공액 또는 공액 복소수
     - 어떤 복소수의 허수부의 부호 만 바꾸어진 복소수

  ㅇ 공액 성질
     - 어떤 복소수와 그 공액복소수와의 합,차,곱을 취할 때,
        . 합은 실수
        . 차는 허수
        . 곱은 양의 실수가 됨 : z z* = r2
     - 어떤 복소수의 공액에 또 공액을 하면 다시 자기 자신이 됨 : A = (A*)*  = A


5. [참고사항]

  ㅇ 복소수 관련 주요 공식  ☞ 복소수 공식 참조

  ㅇ 복소수 행렬복소수 행렬 참조



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