Linear Transformation, Linear Mapping   선형 변환, 선형 사상, 일차 변환

1. 선형 변환 / 선형 사상 (Linear Transformation)

  ㅇ 이 공간에서 저 공간으로 갈 때(대응할 때) 즉, 사상(변환)할 때, 선형성을 보존함
     - 벡터 공간 간에 특정한 관계성(선형성 보존)을 보여주는,
     - 일종의 함수 임

  ㅇ 특히, 사상(변환)에 의해 대응되는 두 집합이 벡터공간이 됨
     - 벡터공간 例) 행렬, 다항식 등


2. 선형변환의 정의

  ㅇ 벡터 공간 간에 다음 2가지 연산 성질을 보존하며, 사상하는 변환

      -  T(u+v) = T(u) + T(v)  (가산성,Additivity) ...①
      -  T(cu) = cT(u)  (동차성,Homogeneity,Scaling) ...②

      * `벡터덧셈(①)`과 `스칼라곱(②)`에 대한 연산을 보존함
         . 벡터 공간 간에 수학적 연산 구조(선형성)를 그대로 보존하는 변환

      * `가산성`,`동차성`은 중첩의 원리라고도 함

  ※ 여기서, 함수 or 사상 or 변환 이란?   ☞ 함수 사상 변환 참조


3. 선형변환의 등가적 정의

  ㅇ 벡터공간 V에서 벡터공간 W로 가는 변환 (벡터공간 간의 매핑/함수)
     

  ㅇ 벡터 x를 행렬 A에 의해 Ax로 가게하는 변환 (행렬 변환)
     

     - 변환 T는 벡터 x를 벡터 w로 사상함

  ※ 변환 관계도
     


4. 선형 변환 및 행렬 변환 차이점

  ㅇ 선형변환 
     - 변환의 선형적 성질에 중점을 둔 용어

  ㅇ 행렬변환  :  (선형변환의 행렬 표현)
     - 선형변환은 행렬로 표현됨
        . 벡터를 변환하기 위해 행렬이라는 구조를 사용
     * 거의 모든 선형변환은, 행렬변환이라는 도구를 통해, 표현 가능함


5. 선형변환 및 비선형변환 例)     

  ㅇ 선형변환의 例)
     - 기하학적인 경우                                                 ☞ 기하학적 선형변환 참조
        . 비례 변환 (확대 및 축소, dilation and contraction)
           .. T(cu) = cT(u)
        . 회전 변환
        . 반사 변환
        . 층밀림 변환
        . 사영 변환

     - 연산의 경우 : 미분연산자, 적분연산자 등                                ☞ 선형연산자 참조

  ㅇ 선형변환이 아닌 例)
     - 성분제곱 변환
        . 각 성분을 제곱하는 연산은 선형연산이 아님
           ..  T(x1,x2) = (x12,x22)
     - 이동 변환 
        . 단지 벡터를 평행이동하는 연산은 선형연산이 아님 (평행이동 변환)
           ..  T(x) = x + x0
     - 아핀 변환 (Affine Transformation)
        . 행렬 A에 의한 행렬변환 후 평행이동
           ..  T(u) = Ax + xo
   
     * 비록,
        . 평행이동 및 아핀 변환은, 선형변환이 아니지만, 
        . 행렬변환으로 취급이 가능


6. [참고사항]

  ㅇ 선형변환의 합성  :  
[# L_2 \circ L_1(\mathbf{u}) = L_2(L_1(\mathbf{u})) #]
     - 선형변환을 연달아 취하는 경우

  ㅇ 영 선형변환 (영 변환)  :  
[# L(\mathbf{u}) = \mathbf{0} #]

  ㅇ 항등 선형변환 (항등 변환)  :  
[# L(\mathbf{u}) = \mathbf{u} #]

  ㅇ 행렬 변환  :  
[# L_{A}(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} #]