Similarity Matrix   닮음 행렬, 닮은 행렬

1. `비교`,`닮음` 등 관련 용어들 

  ※ `비교`에 대한 종합적인 이해는, ☞ 비교(같음/닮음/다름) 참조
     - 같음, 닮음, 전혀다름의 수학적 차이, 표현, 정량화 등
  
  ※ `유사함`을 의미하는 기하학적 용어들은, ☞ 합동(Congruence), 닮음(Similarity) 참조
     - 합동 : 크기와 모양이 똑같음. 위치 만 다름 ( ≡ )
     - 닮음 : 같은 모양이지만, 크기가 다름 ( ~  )


2. [행렬]  닮음 (Similarity) 이란?

  ㅇ 닮음 행렬의 정의
     -  (n x n)인 두 정방행렬 A,B 가 있을 때, 
        .  다음과 같은, (n x n)인 정칙행렬(가역행렬) P 가 존재하면, 
           ..  P B = A P  또는  B = P-1 A P  또는  A = P-1 B P 
        .  이때, 행렬 A,B 는 닮은 행렬 임

     -  한편, 
        .  (n x n)인 정칙행렬(가역행렬) P가 많이 존재할 수 있으므로,
           ..  A와 닮은 닮음 행렬도 많게 됨 

  ㅇ 닮음 행렬의 표기
     -  B가 A와 닮음 행렬이면, A ~ B 라고 표기함  (기호 `~`는, ☞ 동치관계 참조)

  ㅇ 닮음 행렬의 찾기
     - 닮음 행렬 정의(B = P-1 A P 등)로부터 찾아냄
     - 즉, 아래 3.항 닮음 변환에 따라, 매우 많은 닮음 행렬을 찾을 수 있음 

  ㅇ 직교 닮음 행렬 (Orthogonal Similarity Matrix)
     -  (n x n)인 두 정방행렬 A,B 가 있을 때, 
     -  만일, B = PT A P 인 직교행렬 P 가 존재하면, 
     -  이때, 행렬 A,B 는 직교 행렬 이며, 동시에 닮은 행렬 임


3. [행렬]  닮음 변환 / 닮은 변환 (Similarity Transformation)

  ㅇ 행렬 A 를 행렬곱 P-1 A P 로 변환하는 것
     -  T(A) = P-1 A P


4. [행렬]  닮은 행렬의 例)

   


5. [행렬]  닮은 행렬의 성질

  ㅇ 행렬식이 같음 
     -  det(A) = det(B)

  ㅇ 랭크가 같음
     -  rank(A) = rank(B)

  ㅇ 대각합이 같음
     -  tr(A) = tr(B)

  ㅇ 해공간 차원이 같음
     -  동차 방정식  A x = 0, B x = 0 의 해공간 차원이 같음

  ㅇ 특성다항식 및 고유값이 같음 
     -  (n x n) 행렬 A,B 가 닮음 행렬이면, 
        . 두 행렬의 특성다항식 및 고유값이 같고, 
           .. 이 때의 중복도(Multiplicity)도 같음
     - 즉, 행렬을 닮음 변환해도 특성방정식 및 고유값은 변하지 않음

  ㅇ 고유벡터는 서로 다를 수 있지만, 고유벡터 수는 서로 같음 

  ※ 행렬에서, 닮음 불변량 (similarity invariant) 들은?
     - 행렬식
     - 랭크(행렬의 계수)
     - 대각합
     - 특성 방정식
     - 고유값 및 그 대수적 중복도와 기하적 중복도
     - 핵(커널,영공간)의 차원
     - 가역성

  ※ 결국, 닮음 행렬들은,
     - 행렬식, 랭크, 특성방정식, 고유값 등이 같으므로,
     - 복잡한 행렬 문제를, 훨씬 단순한 모양의 닮음 행렬을 찾아서, 보다 쉽게 처리할 수 있음


6. [행렬]  대각화 가능 행렬 (Diagonalizable Matrix)

  ㅇ 닮음 행렬의 특별한 형태로써, 응용에 많이 쓰임

  ㅇ 대각 행렬 D와 닮은 닮음 행렬 A는 대각화 가능 행렬 이라고 함

     - 즉,
        . D = P-1 A P  또는  A = P-1 D P 를 만족하는,
           .. 정칙행렬(가역행렬) P 및 대각행렬 D 가 존재할 때,
        . 이때, `대각행렬 D`와 닮은 `정방행렬 (n x n) A`는, 
           .. 대각화 가능 (Diagonalizable) 하다고 함

  ㅇ 대각화 가능 행렬의 대표적인 例)
     - 대칭 행렬

  ㅇ 대각화 가능 행렬은, 
     - 다른 행렬들의 행렬 곱으로 표현이 가능 함

     - 고유값 분해
        . 대각화 가능한 n차 (n x n) 정방행렬 A는, 
        . 자신의 고유벡터들이 열벡터인 S와
        . 자신의 고유값들을 주성분으로 갖는 대각행렬 D를 사용하여,
        . A = S D ST로 분해할 수 있음