Null Space, Solution Space   영 공간, 해 공간

(2021-02-20)

널 공간, Nullity


1. 영 공간 (Null Space),  공간 (Solution Space)

  ㅇ  A x = 0 을 만족하는 x
     - 선형 사상에서, 영 벡터가 되게 만드는 미지 벡터들로 이루어진, 벡터 부분공간

     - 여기서,
        .  A x = 0 : 제차 행렬방정식(제차 선형연립방정식)
           .. 선형 사상에 의해, 우변이 모두 영(0) 인 영벡터가 되는, 행렬방정식 형태
           .. 이때 x 집합이 그리게되는 벡터 부분공간이 특별한 의미를 갖음
        .  A : 시스템 행렬
        .  x : 변수 벡터, 미지 벡터 (공간 Rn의 원소)
        .  0 : 영 벡터 (공간 Rm의 원소)

  ㅇ 영 공간의 표기 또는 차원
     -  Null ( A )
     -  nullity ( A )
     -  Nul A = { x : x ∈ Rn, A x = 0 }


2. 영 공간( 공간)의 例)

   
[# A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} #]
ㅇ A x = A [1,1,-1] = 0 - (첫 두 열의 합)이 -(셋째 열)과 같으므로 ㅇ x = [1,1,-1] 은 Nul (A)에 속함 3. 영 공간( 공간)의 등가 표현들 ㅇ `Nul A` ㅇ `m x n 행렬 A 의 영공간` ㅇ `A x = 0 을 만족하는 모든 집합` ㅇ `A x = 0 을 만족하는 모든 를 포함하는 부분공간` ㅇ `{ x : x ∈ Rn, A x = 0 }` ㅇ `선형변환 에 의해, Rm영 벡터로 보내지는 Rn의 모든 벡터 x집합` ㅇ 한편, 영 공간을, - 일반화된 선형변환에서는, 커널(Kernel) 이라고도 함 4. 영 공간( 공간)의 성질 ㅇ A가 가역행렬인 경우, 자명한 x = 0 만이 유일한 가 됨 ㅇ A가 비 가역행렬인 경우, A x = 0의 각각의 모두가 영 공간 Nul(A)에 속함



Copyrightⓒ written by 차재복 (Cha Jae Bok)
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