Characteristic Equation, Auxiliary Equation, Characteristic Polynomial   특성 방정식, 보조 방정식, 특성 다항식

(2021-11-10)

Characteristic Root, 특성방정식 근, 특성 근, Chracteristic Vaue, 특성 값


1. 특성 방정식(Characteristic Equation) / 보조 방정식(Auxiliary Equation)시스템(특히,선형시스템)의 고유한 특성을 나타내는 방정식


2. 특성 방정식에 대한 여러 동등한 정의식

  ㅇ [미분방정식]  선형 동차 미분방정식 해와 관련된 대수적 방정식

     -  상수 계수를 갖는 선형 동차 미분방정식(즉, LTI 시스템)으로부터, 
     -  일반해지수형태의 해 x(t)=eλx의 형태를 가질 것으로 기대되어, 
     -  이를 해(解)로써 대입하였을 때,
     -  해당 미분방정식을 만족시키게되는 방정식

  ㅇ [행렬/고유값]  정방행렬 A (시스템행렬)의 특성 방정식

     -   det(A - λI) = 0      : 특성 방정식
        . P(λ) = det(A - λI) : 특성 다항식 (Characteristic Polynomial)
        . det() : 행렬식 (Determinant)

     -  일반적으로, 다음과 같이 λ의 방정식 형태를 갖음
        . λn + c1n-1 + ... + cn = 0

     - 이때, 이 특성방정식을 만족하는 λ의 값을 고유값(특성근) 이라고 함

  ㅇ [제어계 전달함수]  폐루프 전달함수의 분모 다항식을 영으로 놓은 것

     -   T(s) = p(s)/q(s) = G(s)/{1 + G(s)H(s)} 에서 분모가 `0`
        . 즉, q(s) = 0 또는 1 + G(s)H(s) = 0 (특성 방정식)
           .. q(s) 또는 1 + G(s)H(s) : 특성 다항식(Characteristic Polynomial)

     - 이때, 전달함수의 분모 다항식근(根)을, 극점(Pole) 이라고 함

  ㅇ [상태방정식] 전달함수행렬에서 분모를 영으로 놓은 것

     -   |sI - A| = det(sI - A) = 0
        . 여기서, A : 시스템 행렬


3. 특성 방정식의 유도 例선형 미분방정식 으로부터 ⇒ 특성방정식 유도
     - 미분방정식미분 연산자를 대입시켜 유도
        .  상수계수의 2계 제차 선형 미분방정식 ay″+ by′+ cy = 0 에서
        .  다음과 같이 해를  y = eλx, y′= λeλx, y″= λ2eλx가정하여 대입하면,
        .  aλ2eλx + bλeλx + ceλx = 0  ->  eλx(aλ2 + bλ + c) = 0
        .  여기서, eλx가 0 이 될 수 없으므로,
        .  결국, 미분방정식을 만족시킬 수 있는 유일한 방법은 aλ2 + bλ + c = 0
        .  이때의 aλ2 + bλ + c = 0 를 특성방정식이라고 함

  ② 전달함수 로부터  ⇒ 특성방정식 유도
     - 전달함수 분모다항식을 0 으로 놓고 유도
        .  상수계수의 2계 선형 미분방정식 ay″+ by′+ cy = dx″+ ex′+ fx 에서
        .  미분연산자 sk = dky/dtk를 대입하면,
        .  (as2+bs+c)y(t) = (ds2+es+f)x(t)
        .  시스템 전달함수는 H(s) = (ds2+es+f)/(as2+bs+c)
        .  결국, 전달함수의 분모 다항식을 0으로 놓으면 특성방정식이 얻어짐

  ③ 시스템 행렬 로부터  ⇒ 특성방정식 유도
     - 例) 
[# A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} #]
.
[# \begin{bmatrix} sI - A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix} #]
. 특성방정식 : {# \det(sI - A) = s(s+3) + 2 = s^2 + 3s + 2 #} . 특성근(고유값) : {# s^2 + 3s + 2 = (s+1)(s+2) = 0 \quad s = -1, \; s=-2 #} 4. 특성방정식의 근/해 = 특성근(Characteristic Root) = 고유값(Eigenvalue) ㅇ 특성방정식은, 고유응답의 특성을 나타내는데 필요한 모든 정보를 갖게됨 - 고유응답 : 회로 또는 시스템의 일반적인 성질(구성 소자의 종류, 크기, 연결구조 등)을 나타냄 ※ 이는, 선형시스템 해석 및 풀이에 중요한 역할을 함 - [참고] ☞ 고유치(Eigenvalue), 고유주파수(Eigen Frequency), 극점(Pole) 등 참조



Copyrightⓒ written by 차재복 (Cha Jae Bok)
"본 웹사이트 내 모든 저작물은 원출처를 밝히는 한 자유롭게 사용(상업화포함) 가능합니다"