Homogeneous Expression   동차식

(2020-12-28)

Homogeneous Function, 동차 함수, Homogeneous Differential Function, 동차 미분방정식, 제차 미분방정식


1. [수학]  동차성/비례성 (Homogeneity, Scaling)동차성 (同次) 또는 비례성 (比例) 
     - 출력 크기가 입력 크기에 `단순 비례적`    
        . 원인이 α배 증가하면 효과도 α배로 증가함
        . 즉, T[αx(t)] = αT[x(t)]
     - 비동차성의 例) y(t) = a x2(t),  y(t) -1 = x(t) 등
        . `단순 비례적`이 아닌, `지수 비례적`, `상수 더하기(평행이동)` 등은 비동차성 효과
     - [참고] 
        . ☞ 선형성 (중첩의 원리 = 가산성 + 비례성) 참조
        . ☞ 기하학적 선형변환 (비례변환,유사변환) 참조

  ㅇ 동차형 (同次)        ☞ 아래 2,3 항 참조 (동차식, 동차 함수, 동차 미분방정식)
     - 함수 또는 다항식에서 각 항의 차수(Degree)가 같은 것

  ㅇ 제차형 (齊次)        ☞ 아래 4,5 항 참조 (제차 미분방정식)
     - 방정식의 우변이 0인 방정식 형태 (Homogeneous Equation)


2. [수학]  동차 함수(Homogeneous Function) 또는 동차 다항식/동차식(Homogeneous Expression)함수 또는 다항식에서 각 항의 차수(Degree)가 같은 것
     - 즉, 조건  f(λx,λy) = λn f(x,y)을 만족하는 것

     - 例) f(x,y) = x2 + 3xy + y2 ⇒ f(λx,λy) = λ2x2 + λ2(3xy) + λ2y2 = λ2 f(x,y)
        . 이 경우의 f(x,y)는, 각 항이 모두 2차인 2차 동차 함수 또는 동차 다항식3. [수학]  (1계 1차) 동차 미분방정식 (Homogeneous Differential Equation)

  ㅇ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
     - 위 식에서 M(x,y),N(x,y)가 같은 차수의 동차 함수일 때

  ㅇ 특징
     - 동차 미분방정식은 y = ux 또는 x = vy와 같은 간단한 대수적 치환으로,
     - 변수분리형 미분방정식으로 바꾸어서 풀 수 있음

  ㅇ 풀이방법
     -  y=ux 를 이용하여 변수분리형 미분방정식으로 변화시킴
        .  y=ux 양변을 미분하면
           
        .  한편, 미분방정식에 y=ux를 대입하면
           
        .  M,N이 n차 동차함수이면
           
        .  이 식은 다음과 같이 변수분리형 미분방정식이 됨
           
     -  또한, x=vy 를 이용하여 변수분리형 미분방정식으로 변화시키면
           


4. [수학]  제차 (드물게,동차 라고도 함) 방정식 (Homogeneous Equation)

  ㅇ 함수 f(x1,x2,...,xn)에 대한 방정식 형태가 f(x1,x2,...,xn) = 0 인 것
     - 즉, 방정식의 우변이 0인 방정식 형태를 말함


5. [수학]  제차 (드물게,동차 라고도 함) 미분방정식 (Homogeneous Differential Equation)

  ㅇ n계 상미분방정식 형태 구분

     - 표준형(standard)                     : 최고 계수(order) 항이 상수인 형태 
         
        . 즉, y(n) 항의 계수(coefficient)가 상수

     - 제차형/동차형(homogeneous)           : 위 방정식에서 우변이 0 인 형태 
          
        . 즉, R(x) = 0
           .. 독립변수 x 만의 함수로된 항이 없는 경우

     - 비 제차형/비 동차형(non-homogeneous) : 위 방정식에서 우변이 0 이 아닌 형태 
         
        . 즉, R(x) ≠ 0
           .. 독립변수 x 만의 함수로된 항이 있는 경우
           .. 여기서, R(x)는 종속변수 y 및 그 도함수를 포함하지 않고 독립변수 x 만으로 됨



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