1. 1계 미분방정식 (First-order Differential Equation)
ㅇ 최고 계수의 미분항(도함수)이 1계 미분인 미분방정식
2. 1계 미분방정식의 표현 형태
ㅇ 표준형 (standard form) : [# \frac{dy}{dx} = f(x,y) #]
- 2 변수 함수 f 표현
ㅇ 미분형 (differential form) : {# M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 #}
ㅇ 선형 (linear form) : [# \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)#]
ㅇ 음함수형, 양함수형
- 음함수 표현 : [# F(x,y,y') = 0 #]
. 종속변수 y가 독립변수 x와 분리되지 않고,
. x와 y 간의 관계를 통해서 묵시적으로 표현이 됨
- 양함수 표현 : [# y' + P(x)y = Q(x) #]
. 종속변수 y가 독립변수 x로부터 직접 산출될 수 있는 형태
ㅇ 제차형, 비제차형 : [# a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_2(x)y = g(x) #]
- 제차 1계 미분방정식 표현 : [# a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_2(x)y = 0 #]
- 비제차 1계 미분방정식 표현 : [# a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_2(x)y = g(x) #]
3. 1계 미분방정식의 풀이 형태별 구분
ㅇ 1계 선형 미분방정식
- 표준형 (1-order, linear, standard form))
[# \frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x) #]
- 제차형 (homogeneous, 1-order, linear, standard form)
[# y' + p(x)y = 0 #]
- 비제차형 (nonhomogeneous, 1-order, linear, standard form)
[# y' + p(x)y = r(x) #]
- 일반적으로는, 적분 인자 법 (Method of Integrating Factors)에 의해 풀이
. 완전 미분방정식이 아닌 미분방정식에 적당한 적분 인자(Integrating Factor)를 곱해서,
. 완전 미분방정식 형태로 바꾸어서 해를 구함
ㅇ 1계 변수분리형 미분방정식
[# \frac{dy}{dx} = \frac{g(x)}{h(y)} \quad or \quad \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \quad or \quad g(x)dx + h(y)dy = 0 #]
- 변수별로 좌우 양변으로 분리한 후, 적분하여 해를 구함
ㅇ 1계 완전미분형 미분방정식
[# M(x,y)dx + N(x,y)dy #]
ㅇ 기타
- 베르누이 방정식
- Riccati 방정식
4. 1계 미분방정식의 풀이 및 해 구성
ㅇ 1계 미분방정식 풀이 (해를 구하는 방법)
- 가상 해(지수함수)에 의한 방법 : 적분인자법
- 변수분리법
- 라플라스변환
ㅇ 1계 미분방정식 해의 구성
- 미분방정식의 해 : 일반해 = 동차해 + 특수해
- 시스템 응답 : 완전응답 = 과도응답 + 정상상태응답
- 의미 : (완전응답) = (입력전원이 없는 경우) + (입력전원에 따른 부가적인 해)
5. 1계 미분방정식에 의한 물리계,전기계 표현
※ ☞ 1차 시스템, 1차 회로 등 참조
- 자유 낙하 운동 : {# dv/dt = g - (c/m) \, v #}
- 개체수 증가 모델 : {# dp/dt = rp - k #}
* (통적적인 형식) {# dy/dt = ay - b #}