Linear Differential Equation, Nonlinear Differential Equation   선형 미분방정식, 비선형 미분방정식

(2020-11-30)

변수계수 미분방정식, 상수계수 미분방정식


1. 선형비선형 미분방정식의 구분선형 미분방정식 (Linear Differential Equation)
     - 종속변수 및 그 도함수가 1차이고, 각 계수(coefficient)가 독립변수 만의 함수

     * 선형 미분방정식 형태 例)
        . 例 1)  4x3 d2y/dx2 + x2 dy/dx + (cos x) y = ex  :  2계 변수계수 선형 미분방정식
        . 例 2)  a2(x) d2y/dx2 + a1(x) dy/dx + a0(x) y = f(x)  :  2계 변수계수 선형 미분방정식비선형 미분방정식 (Nonlinear Differential Equation)
     - 종속변수 및 그 도함수가 1차가 아닌  지수를 갖을 때나, 
     - 계수종속변수를 포함하거나, 
     - 종속변수비선형 함수(例: sin y 등)를 포함하는 항이 있을 때

     * 비선형 미분방정식 형태 例)
        . 例 1)  xydy/dx + 2y = sin x  (y와 dy/dx가 곱의 형태로 1차가 아님)
        . 例 2)  d2y/dx2 + (dy/dx)2 = 1  (dy/dx의 제곱을 포함하여 1차가 아님)
        . 例 3)  (1-y)dy/dx + 3y = ex  (첫번째 항의 계수가 종속변수 y를 포함)
        . 例 4)  dy/dx + sin y = 0  (sin y 항이 비선형 함수임)
        . 例 5)  dy/dx = yn  (종속변수 y가 2차 이상의 지수항을 포함)


2. 선형 미분방정식의 형태 및 종류

  ㅇ `변수 계수`를 갖는 n계 선형 미분방정식 (n-order, linear)
       
[# a_n(x) \frac{d^n y}{d x^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}} + \cdots + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x) y = g(x) #]
- 모든 계수(coefficient)가 x 만의 함수 - y 및 그 도함수는 1차(1승) 이내 만 가능 - 한편, an(x) = 1 이면, `표준형` 이라고 함 ㅇ `상수 계수`를 갖는 미분방정식 (constant coefficient)
[# \frac{d^n y}{d x^n} + a_1 \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} \frac{dy}{dx} + a_n y = R(x) #]
3. 제차 선형 미분방정식의 특징 (homogeneous,linear)중첩의 원리 - 각 개별 해 y1,y2,...,yk일차결합이 다시 그 해가 됨 . y = c1y1+c2y2+...+ckyk . 한편, 개별 해 y1의 임의 상수배 y=c1y1도 해가 됨 4. 선형 미분방정식의 풀이 ㅇ 해의 여러가지 성질을 특징지어서 풀 수 있는 여러 표준적인 방법들이 가능함 - 1계 선형 미분방정식의 풀이 例) . {# y' + p(x) y = g(x) #} . {# e^{\int p(x) dx} #}를 양변에 곱하면, . {# e^{\int p(x) dx} y'(x) + p(x) e^{\int p(x) dx} y(x) = g(x) e^{\int p(x) dx} #} . {# \frac{d}{dx} \left( y(x) e^{\int p(x) dx} \right) = g(x) e^{\int p(x) dx} #} . 양변을 적분하면, . {# y(x) e^{\int p(x) dx} = \int \left( g(x) e^{\int p(x) dx} \right)dx + C #} . 따라서, 일반해는, . {# y(x) = e^{- \int p(x) dx} \int \left( g(x) e^{\int p(x) dx} \right)dx + C e^{- \int p(x) dx} #} - 2계 이상의 고계 미분방정식의 풀이 . 상수계수인 선형인 경우에서 만 비교적 쉽게 풀이할 수 있음 . 변수계수이거나, 비 동차형이면 복잡해짐



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