Solving Differential Equation   미분방정식 풀이

1. 미분방정식의 풀이 

  ㅇ 미분방정식을 항등적으로 만족하는 독립변수의 함수를 구하는 것
     - 미분방정식,초기조건/경계조건 등을 만족하는 1 이상의 미지 함수를 구하는 것
        . 이 미지함수를 해당 미분방정식에 대입하였을 때 항등적으로 만족시키게됨


2. 상 미분방정식의 풀이법 종류

  ㅇ 1계 미분방정식 풀이법 종류  :  dy/dx = f(x,y)
     - 1계 선형 미분방정식 (적분인자법)
        . dy/dx = - ay + b
        . dy/dx + p(x)y = g(x) (1계 선형 미분방정식의 표준형)
        . 곱의 미분을 이용하여 바로 적분할 수 있는 형태의 함수 ☞ 위키백과(적분인자) 참조
     - 변수분리형 미분방정식 (변수분리법)
        . dy/dx = ay + b
        . 변수분리형 미분방정식은 미분방정식 중 가장 간단한 형태로써,
           .. 변수별로 좌우 양변으로 분리한 후,
           .. 각 변수에 대해 적분하여 해를 구함
     - 완전미분형 미분방정식
        . dy/dx = - M(x,y)/N(x,y) = f(x,y)
     - 대입법 
        . 일단 다른 미분방정식 형태로 변환한 후에 푸는 방법
        . 例) y = g(x,y)를 대입하여, dy/dx = f(x,y) 형태로 변환
     - 연립 1계 미분방정식

  ㅇ 2계 미분방정식 또는 고계 미분방정식 풀이법 종류
     - 계수축소법(method of reduction of order)
        . 이미 알려진 해로부터 방정식의 계수를 줄여서 두번째 해를 구하는 방법
     - 상수계수를 갖는 비제차 2계 선형 미분방정식의 풀이법
        . 일반해 구하는 법
        . 특수해 구하는 법 
           .. 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)
           .. 매개변수변화법(Method of variation of parameter) 등
     - 상수계수를 갖는 동차 2계 선형 미분방정식의 풀이법

  ㅇ 급수 해법 (Power Series Method)
     - 변수계수를 갖는 선형 상 미분방정식의 풀이를 위한 가장 표준적인 해법
        . 해가 멱급수 형태로 얻어짐

  ㅇ 적분 변환 방법 (Integral Transform) : 라플라스 변환 등
     - 미분방정식을 다루기쉬운 대수방정식 형태로 변환(라플라스 변환 등)하여 풀이
        . 적분변환 형태 : 
           .. 여기서, 적분변환 I는 함수 f(t)를 t에 독립적인 a의 함수로 변환시킴
        . 라플라스변환 형태 例) : 

  ㅇ 수치적 방법
     - 적분이나 급수 해법 같은 해석학적 방법으로 정확한 해를 찾을 수 없는 경우에,
        . (비선형, 복잡 등)
     - 수치적인 방법으로 근사 해를 구하게 됨
        . (1계 초기값문제 : Euler 법 등)