Curve Fitting, Approximation   곡선 적합, 커브 피팅, 근사

(2021-10-17)

함수 근사, 다항식 근사, Linear Approximation, 선형 근사, Approximate Method, 근사 법, 근사식


1. 곡선 적합(Curve Fitting) 또는 Approximation(근사) 이란?

  ㅇ (유형 1)  데이터들을 어떤 적합한 곡선으로 맞추는 것
     - 이산적인 값 사이에 있는 점들을 근사화하는 추정 곡선(함수)을 얻는 것
        . 경향(trend),모델(model)을 찾으려는 것
     - 주로, 적합(Fitting)이라고 칭함

  ㅇ (유형 2)  복잡한 것을 단순한 것으로 묘사하는 것
     * 즉, 복잡한 함수를 간단한 함수로 근사화하는 것
     - 주어진 함수를 `다항식`, `잘 알려진 함수(삼각함수 등)`로 근사화 
     - 주로, 다항식 근사(Polynomial Approximation), 함수 근사(Function Approximation) 등으로 칭함
     - 한편, 미분 이론의 목적 중 하나가 곡선과 가장 가까운 근사 다항식 구하기 등 임

  ㅇ (유형 3)  :  (근사화에 대한 다른 관점)
     - (방정식 관점)
        . 방정식 해를 정확히 구할 수 없을 때, 방정식 해(값 또는 함수)를 근사적으로 구하는 것
     - (벡터 관점)  ☞ 벡터 투영(벡터 근사) 참조
        . 벡터 관점에서, `근사(Approximation)` 및 `투영(Projection)`은 동등한 것으로 봄
     - (통계 관점)  ☞ 회귀 분석 참조
        . 직접 관측할 수 없는 값들에 대해 관측가능한 값(변수)들 만으로,
        . 확률함수 관계식(추세 모형)을 찾아내어, 
        . 이를통해 확률적으로 근사(추정 또는 예측)하는 것

  ※ [용어] 때론, `근사 (Approximation)`를 `추정 (Estimation)`과 동일 의미로 쓰곤 함


2. 근사(Approximation)의 例

  ㅇ f(x) = a x + b 형태의 1차 함수로 근사  :  선형 근사/직선 근사(Linear Approximation)

  ㅇ 함수에 대해 급수 형태로 표현(근사)하는 방법  :  테일러 근사
     - 급수의 각 항 계수들을 그 함수도함수와 관련시켜 근사 표현

     - 1차 근사식 (1차 도함수까지 만 이용)
        .  f(a + h) ≒ f(a) + h f'(a)  (h ≒ 0)
           .. 例) √(64.3) = √(64 + 0.3) ≒ 8 + (0.3)(1/2√(64)) = 8 + 0.01875 = 8.01875
           .. 여기서, f(x) = √x , f'(x) = 1/(2√x) 
        .  f(x) ≒ f(0) + x f'(0)  (x ≒ 0) 
           .. 例) sinθ ≒ sin 0 + θ cos θ = 0 + θ = θ  
           .. 여기서, f(θ) = sin θ, f'(θ) = cos θ  
     - 2차 근사식 (2차 도함수까지 만 이용)
        .  f(a + h) ≒ f(a) + h f'(a) + ½ h²f"(a)  (h ≒ 0)
        .  f(x) ≒ f(0) + x f'(0) + ½ x²f"(0)  (x ≒ 0) 

  ㅇ 잔차의 제곱의 합을 최소화시키는 근사  :  최소자승 근사법(LSA)

  ㅇ 주기적 현상에 대한 근사 : 푸리에 표현에 의한 근사
     - 신호정현파적 신호일차결합으로 표현

  ㅇ 증가/감소 모형에 대한 근사 : 지수함수일차결합에 의한 근사


3. 곡선 적합(Curve Fitting)의 방법 상의 구분보간법 (Interpolation)         : 기지 값들에 의해, 미지 값에 대한 근사 모형 추구
     - 기지의 두 점 사이를 지나는 함수를 구해, 임의 점의 함수값을 추정하는 방법
        . 주변의 이미 알려진 값들로부터 미지값을 보간 함수(보간 다항식)를 이용하여 추정회귀분석 (Regression Analysis) : 데이터 집단이 갖는 추세 모형 추구
     - 각 점들을 정확히 통과하지는 않지만, 데이터 집단의 경향을 보이는 하나의 곡선을 찾음
        . 데이터들이 상당한 크기의 오차를 포함하거나 산재되어 있는 경우에 데이터들의
          일반적인 경향을 찾아내는 것
        . 점들로 이루어진 집단의 경향을 따르도록하는 곡선을 유도함



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