1. 상 미분방정식 (常微分方程式, Ordinary Differential Equation, ODE)
ㅇ 미지 함수와 그에 대한 1 이상의 도함수를 포함하는 방정식
- 미지 함수 : 독립 변수(x)에 따라 종속 변수(y)의 변화를 예측할 수 있는 해를 갖는 함수
- 해 : 해당 미분방정식을 만족하는 특별한 함수
ㅇ 일반 형태 : {# F(x,y,\frac{dy}{dx},\cdots,\frac{d^ny}{dx^n}) = 0 #} 또는 {# F(x,u,u',\cdots,u^{(n)}) = 0 #}
- 例)
. {# y' - y = e^x #}, 해 : {# y(x) = xe^x + ce^x #}
. {# y'' + 9y = e^x #}, 해 : {# y(x) = c_1\sin 3x + c_2 \cos 3x #}
.. 위에서, c는 정해지는 상수이며, 이는, 상 미분방정식의 해가 유일하지 않음을 나타내며,
.. 이를 규정하는 부수적인 조건(초기조건,경계조건)에 따라, 정확한 해를 구할 수 있게 됨
. {# \frac{d^2 y}{dx^2} + 8y = 0 #}
. {# u'(x) = u(x) #}
. {# u''(x) + 3u(x) = e^x #}
. {# u''(x) + x(u'(x))^2 + \sin u(x) = \ln x #} 등
※ 통상, 그냥 미분방정식 라고 하면, 상 미분방정식 (常微分方程式)을 지칭함
- [참고] ☞ 편 미분방정식 (偏微分方程式) 참조
※ n계 상 미분방정식의 일반해는, ☞ 미분방정식 풀이 참조
- 임의 상수(적분 상수)를 포함하는 n개의 선형독립인 해 함수들을 갖음