IVP   Initial Value Problem   초기값 문제

(2023-09-24)

초기 상태, 초기 조건, 초기 값


1. 초기 조건 (Initial Condition) / 초기 값 (Initial Value)시스템에 주어진 단일 상태 조건/값
     - 통상, 시스템 입력이 주어지기 시작한 바로 그 순간에서의 시스템 상태/값

  ㅇ 시스템의 거동을 표현한 미분방정식에서, 
     - 한 점에 대한 미지 함수와 그 도함수에 지정되는 부수조건
     

2. 초기 조건/초기 상태/초기 값에 대한 물리적 의미  =>  과거의 반영 및 예측가능물리시스템응답(출력)의 시간에 따른 미분방정식 해를 정확히 구하기 위해서는,
     - ①  -∞부터 t。시점까지 과거시간 동안의 모든 시스템 입력을 알거나,
     - ②  t = t。에서 시스템의 초기 상태(초기 조건)을 알면 됨

  ㅇ 대부분, 초기 상태(초기 조건)를 통해, 미래 t > t。에 대한 시스템 출력 응답(해)을 구하게 됨


3. 초기값 문제 (Initial Value Problem) 이란?미분방정식에 초기조건이 주어질 때, 그 해를 구하는 문제

  ※ 한편, 
     - 초기값 문제는, 경계값 문제의 특별한 경우로 봄
        . (경계값 문제 : 어떤 구간의 양끝점에 주어진 조건에 따라, 미분방정식 해를 구하는 것)
     - 통상, 미분방정식을 푸는 대부분의 문제는,
        . 임의의 한 점이 주어질 때의, 초기값 문제 임


4. 초기값 문제의 형식 例)1계 미분방정식 초기값 문제
       
[# \frac{dy}{dx} = f(x,y) \quad\quad y(x_o)=y_o #]
2계 미분방정식 초기값 문제
[# \frac{d^2y}{dx^2} = f(x,y,y') \quad\quad y(x_o)=y_o,y'(x_o)=y'_o #]
ㅇ n계 미분방정식 초기값 문제
[# a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y^{(1)}+a_o(x)y=g(x) \\ \quad\quad y(x_o)=y_o,y'(x_o)=y'_o,\cdots,y^{(n-1)}(x_o)=y_o^{(n-1)} #]
5. 초기값 문제의 특징 ㅇ `하나의 미분방정식`과 그 해가 만족해야하는 `하나의 조건`으로 구성됨 ㅇ 만족시킬 조건이 `한 점`에서 모두 주어짐 - 어떤 구간 내 정의되는 미분방정식이, 만족시켜야 할 조건이, . 그 구간 내 `하나의 점`에서 모두 주어져 있는 경우임 - 즉, 종속변수 y 및 그 도함수가 모두 `한 점`에서 지정됨 ※ (비교) - 초기값 문제 : 독립변수의 어떤 구간 내 `한 점`에 모든 부수적인 조건(초기조건)이 주어짐 - 경계값 문제 : 독립변수의 어떤 구간 내 `두 점 이상`에서 부수적인 조건(경계조건)이 주어짐 6. 초기값 문제의 풀이일반해로부터 초기조건 {#y(x_0)=y_0#}에 의해 얻어짐 - {#x_0#} : 미분방정식일반해 중에서 독립변수의 특정값 - {#y_0#} : 그 가 취하게되는 값 7. 초기값 문제에서, 해의 존재성(Existence)과 유일성(Uniqueness) ※ ☞ 초기값문제 해의 존재성 및 유일성 참조 - 해의 존재성 : 적어도 1 이상의 해가 반드시 존재함 - 해의 유일성 : 오직 하나의 해 만 유일하게 갖음

초기값문제,경계값문제
   1. 초기값 문제   2. (초기값문제) 해의 존재성,유일성   3. 경계값 문제   4. (경계값문제) 해의 존재성,유일성  


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