초기값문제 해의 존재성 및 유일성

1. 초기값 문제에서, 해의 존재성 (Existence)과 유일성 (Uniqueness)

  ㅇ 해의 존재성
     - 적어도 1 이상의 해가 반드시 존재함
        . 점(x0,y0)를 지나는 미분방정식 해의 적분 곡선이 1 이상 존재함

  ㅇ 해의 유일성
     - 오직 하나의 해 만 유일하게 갖음
        . 점(x0,y0)를 지나는 미분방정식 해의 적분 곡선이 오직 하나 만 있음


2. 1계 미분방정식,2계 미분방정식의 초기값문제에서, 해의 존재성 및 유일성 정리

  ㅇ 프랑스 수학자 C. Picard(1856~1941)가 유일한 해를 갖을 충분조건으로 제시
     - 만일 f(x,y) 및 ∂f/∂y가,
        . xy-평면의 점 (x0,y0)에 중심을 둔 폐 직사각형 영역내의
          모든 점 (x,y)에서 연속이면,
     - 초기값 문제 y'= f(x,y);  y(x0)=y0가,
        . 구간 (x0 - h,x0 + h) (h > 0) 에서 유일한 해 y(x)가 존재함

  ㅇ 일반적으로, 
     - 초기값 문제 y'+ p(x)y = q(x);  y(x0)=y0 에서,
        . 만일, p(x),q(x)가 x0를 포함하는 열린구간 I에서 연속이면, 
        . 이때, 구간 I의 모든 x에 대해 해가 존재하며 유일한 해를 갖음
        . 즉, p(x),q(x)가 해석함수이면 그 해도 해석적임

     - 초기값 문제 y" + p(x)y'+ q(x)y = g(x);  y(x0)=y0, y'(x0)=y'0 에서,
        . 만일, p(x),q(x),g(x)가 x0를 포함하는 열린구간 I에서 연속이면, 
        . 이때, 구간 I의 모든 x에 대해 해가 존재하며 유일한 해를 갖음
        . 즉, p(x),q(x),g(x)가 해석함수이면 그 해도 해석적임