1. 특성 방정식 (Characteristic Equation) / 보조 방정식 (Auxiliary Equation)
ㅇ 시스템(특히,선형시스템)의 고유한 특성을 나타내는 방정식
2. 특성 방정식에 대한 여러 동등한 정의식
ㅇ [미분방정식] 선형 동차 미분방정식 해와 관련된 대수적 방정식
- 물리적인 계/시스템을 묘사하는,
- 상수 계수를 갖는 선형 동차 미분방정식(즉, LTI 시스템)으로부터,
- 일반해가 지수형태의 해 x(t) = eλx의 형태를 가질 것으로 기대되어,
- 이를 해로써 대입하였을 때, (=> 아래 3-① 참조)
- 해당 미분방정식을 만족시키게되는 방정식
ㅇ [행렬/고유값] 정방행렬 A (시스템행렬)의 특성 방정식
- det(A - λI) = 0 : 특성 방정식
. P(λ) = det(A - λI) : 특성 다항식 (Characteristic Polynomial)
. det() : 행렬식 (Determinant)
- 일반적으로, 다음과 같이 λ의 방정식 형태를 갖음
. λn + c1n-1 + ... + cn = 0
- 이때, 이 특성방정식을 만족하는 λ의 값을 고유값(특성근) 이라고 함
ㅇ [제어계 전달함수] 폐루프 전달함수의 분모 다항식을 영으로 놓은 것
- T(s) = p(s)/q(s) = G(s)/{1 + G(s)H(s)} 에서 분모가 `0`
. 즉, q(s) = 0 또는 1 + G(s)H(s) = 0 (특성 방정식)
.. q(s) 또는 1 + G(s)H(s) : 특성 다항식(Characteristic Polynomial)
- 이때, 전달함수의 분모 다항식의 근(根)을, 극점(Pole) 이라고 함
. 이 극점(특성근)은, 제어계의 과도응답 특성에 관한 많은 정보를 줌
ㅇ [상태방정식] 전달함수행렬에서 분모를 영으로 놓은 것
- |sI - A| = det(sI - A) = 0
. 여기서, A : 시스템 행렬
3. 특성 방정식의 유도 例
① 선형 미분방정식 으로부터 ⇒ 특성방정식 유도
- 미분방정식에 미분 연산자를 대입시켜 유도
. 상수계수의 2계 제차 선형 미분방정식 ay″+ by′+ cy = 0 에서
. 다음과 같이 해를 y = eλx, y′= λeλx, y″= λ2eλx로 가정하여 대입하면,
. aλ2eλx + bλeλx + ceλx = 0 -> eλx(aλ2 + bλ + c) = 0
. 여기서, eλx가 0 이 될 수 없으므로,
. 결국, 미분방정식을 만족시킬 수 있는 유일한 방법은 aλ2 + bλ + c = 0
. 이때의 aλ2 + bλ + c = 0 를 특성방정식이라고 함
② 전달함수 로부터 ⇒ 특성방정식 유도
- 전달함수 분모다항식을 0 으로 놓고 유도
. 상수계수의 2계 선형 미분방정식 ay″+ by′+ cy = dx″+ ex′+ fx 에서
. 미분연산자 sk = dky/dtk를 대입하면,
. (as2+bs+c)y(t) = (ds2+es+f)x(t)
. 시스템 전달함수는 H(s) = (ds2+es+f)/(as2+bs+c)
. 결국, 전달함수의 분모 다항식을 0으로 놓으면 특성방정식이 얻어짐
③ 시스템 행렬 로부터 ⇒ 특성방정식 유도
- 例) [# A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} #]
. [# \begin{bmatrix} sI - A \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix} #]
. 특성방정식 : {# \det(sI - A) = s(s+3) + 2 = s^2 + 3s + 2 #}
. 특성근(고유값) : {# s^2 + 3s + 2 = (s+1)(s+2) = 0 \quad s = -1, \; s=-2 #}
4. 특성방정식의 근/해 = 특성근(Characteristic Root) = 고유값(Eigenvalue)
ㅇ 특성방정식은, 고유응답의 특성을 나타내는데 필요한 모든 정보를 갖게됨
- 고유응답 : 회로 또는 시스템의 일반적인 성질(구성 소자의 종류, 크기, 연결구조 등)을 나타냄
※ 이는, 선형시스템 해석 및 풀이에 중요한 역할을 함
- [참고] ☞ 고유치(Eigenvalue), 고유주파수(Eigen Frequency), 극점(Pole) 등 참조