Rank   랭크, 행렬의 계수

(2021-01-07)

1. Rank 이란?

  ㅇ [일반]  
     - 순위, 서열(계층적 위치) 등

  ㅇ [수학]  통상, 가장 높은 순위를 보이는 것
     - 방정식에서, 최고 차 수   ☞ 다항식 용어 참조
     - 미분방정식에서, 도함수의 최고 차수미분방정식 용어 참조
     - 행렬에서, 독립인 행의 최대 개수 (독립 행의 수)


2. [행렬]  랭크 (Rank, 행렬의 계수) 

  ㅇ m x n 인 행렬 A의 1차 독립행 벡터의 최대 개수
     - 행줄임을 통해 나온 행 사다리꼴에서 0 이 아닌 행의 수

  ㅇ 표기 :  rank(A)  또는  r(A)
     -  행렬 A의 랭크 또는 계수(Rank)라고 함

  ㅇ 등가적인 표현
     - `행렬 A의 랭크 : rank(A)`
     - `행렬 A의 행 공간 또는 열 공간기저(Basis) 요소들의 수`
     - `1차독립인 행 또는 열의 최대 수`
     - `행렬 A의 행 공간 또는 열 공간차원(Dimension)` 


3. [행렬]  랭크의 성질

  ㅇ 랭크는, 기본 행 연산에 대해, 불변(invariant)임

  ㅇ 행 동치행렬들은, 같은 랭크를 갖음
     - 즉, ( A ~ B ) 이면, rank(A) = rank(B)

  ㅇ 전치 행렬은, 같은 랭크를 갖음
     - 즉, rank(A) = rank(AT)

  ㅇ 행 계수(Row Rank) r(A) 및 열 계수(Column Rank) c(A) 는 같음
     - 즉, r(A) = c(A)

  ㅇ 대각화 가능 행렬필요충분조건 = 정방행렬고유값 개수 = 랭크 
     - n x n 정방행렬 A가 서로 다른 n개 고유값을 갖는다면, 
     - 그에따른 각 고유벡터들은 선형독립을 이룸


4. [행렬]  랭크 구하기

  ㅇ 주어진 행렬을 `기본행연산`을 통해 `행사다리꼴`로 만든후, 0이 아닌 행의 갯수가 랭크가 됨
     - 例) 



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