Fourier Representaion, Fourier Transform   푸리에 표현, 푸리에 이론, 푸리에 변환, 푸리에 변환 이론

1. 푸리에 표현 (Fourier Representaion)

  ㅇ 대부분의 신호가 직교성을 갖는 정현파 신호의 선형결합(합 또는 적분)으로 표현 가능
     - 신호를 주파수 성분들로(주파수의 함수로) 나타내는 것

  ※ Jean Baptiste Joseph Fourier (1768~1830)
     - 1822년 프랑스의 수학자 푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)가 열전도 현상을
       정현파들로 구성되는 무한급수에 의하여 표현 해석하는 논문을 발표
        . 즉, 어떤 주기 신호도 사인 및 코사인 함수의 선형 결합으로 표현 가능하다고 주장함


2. 푸리에 변환 이론 

  ㅇ 주파수영역상에서 해석,표현,설계를 위한 변환 도구
     - 주파수 영역에서 신호 및 시스템을 해석,표현하는 대표적인 방법
        . 특히, 선형시불변시스템(LTI)의 분석 및 설계에 유용한 수학적 도구

  ㅇ 신호를 주파수 스펙트럼 신호로 변환함으로써, 신호의 주파수 성질을 쉽게 해석 가능
     - 例) LTI시스템에서, 
        . 시간영역 상의 컨벌루션 계산이,
        . 주파수영역 상에서는 단순 곱셈 만으로 그 결과를 얻을 수 있음 등


3. 푸리에 변환의 시간 - 주파수 표현 관계

  ㅇ 푸리에 변환 표현 가능 신호
     - 표현 가능한 신호       ⇒ 복소 정현파 또는 복소 지수로써 주파수 표현을 가능케 함

  ㅇ 신호가 주기적/비주기적 이냐, 연속적/이산적 이냐에 따라 푸리에 표현 형태가 달라짐
     - 시간이 주기성 이면,    ⇒ 기본주파수의 정수배 만을 갖는 주파수 관계(고조파)를 갖음
        . 즉, 이산적인 주파수 스펙트럼
     - 시간이 비주기성 이면,  ⇒ 모든 주파수 성분이 가능 
        . 즉, 연속적인 주파수 스펙트럼
     - 시간이 이산적 이라면,  ⇒ 주파수가 주기성을 갖게됨
        . 즉, 주기성을 갖는 주파수 스펙트럼
     - 시간이 연속적 이라면,  ⇒ 주파수가 주기성을 갖지 않음
        . 즉, 비주기적인 주파수 스펙트럼

     * [참고] ☞ 푸리에변환의 시간 및 주파수 관계 참조


4. 시간 신호의 푸리에 변환에 대한 여러 표현 형태

  ㅇ 연속시간 주기 신호  =>  CTFS (연속시간 푸리에급수)
     - 연속 주기 신호에 대해 고조파 복소지수항으로 무한 푸리에 급수 표현
       
        .      : 연속시간 주기 신호 (무한개 이산 주파수 성분들의 일차결합)
        . ck       : 이산 주파수 스펙트럼을 나타내는 `푸리에 계수`

  ㅇ 연속시간 비주기 신호  =>  CTFT (연속시간 푸리에변환)
     - 연속 비주기 신호에 대해 복소지수항으로 전체 주파수에 걸친 푸리에 적분 표현
       
        . x(t)   : 연속시간 비주기 신호 (무한히 연속된 주파수 스펙트럼으로 구성)
        . X(jω) : 연속 주파수 스펙트럼을 나타내는 `푸리에 계수` (kωo→ω)

  ㅇ 이산시간 주기 신호  =>  DTFS (이산시간 푸리에급수)
     - 주기 수열에 대해 N개의 유한 푸리에 급수 표현
       
        .  : 이산시간 주기 수열 신호 (최대 N개의 주파수 성분들 만의 일차결합)
        .  : N개 이산 주파수 주기성을 갖는 복소수 이산 수열

  ㅇ 이산시간 비주기 신호  =>  DTFT (이산시간 푸리에변환)
     - 비주기 수열에 대해 주파수 구간 2π에 걸친 푸리에 적분 표현
       
        . x[n] : 이산시간 비주기 무한 수열 신호
        .  : 연속 주파수 주기성을 갖는 복소수 연속 함수

  ※ 일반적으로,
     - 주기 신호의 분해  =>  푸리에 급수 (Fourier series) 표현
     - 비 주기 신호(유한 에너지 신호)의 분해  =>  푸리에 변환 (Fourier transform) 표현

  ※ 위 4개의 변환 관계는 변환 수치 값을 항상 주지 못함
     - 즉, 닫힌 형태(closed-form)의 해석적인 수학적 표현으로 제한됨
        . 따라서, 실제 수치 변환 값을 합리적인 근사값으로 구하기 위해서는
        . 아래 5.항의, `이산푸리에변환(DFT)`을 이용하게됨


5. 한편, 컴퓨터 계산을 가능케 하는 `이산 푸리에변환` 표현이 특히 중요함

  ㅇ N개 시간 샘플 수열 IDFT  <=>  DFT (이산 푸리에 변환)
     - N개 유한 시간 샘플 수열에 대해, N개 유한 주파수 샘플 계수를 대응시킴 
        . 컴퓨터에 의한 실제 계산 수행이 가능토록 하기 위함        .
       


6. 푸리에 변환의 존재를 위한 충분조건 

  ㅇ 푸리에 변환은 모든 신호에 대해 주파수 영역 함수로 수렴시켜 표현 가능하지 않음.
     * ☞ 디리클레 조건(Dirichlet Condition) 참조

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