Convolution   콘벌루션, 콘볼루션, 컨벌루션, 컨볼루션, 길쌈, 합성곱

(2021-05-19)

Convolution Integral, 컨볼루션 적분, 중첩 적분, 합성곱 적분


1. 콘볼루션 / 합성곱 (Convolution)

  ㅇ 두 함수 중 하나를 역전시켜 이동하면서 다른 함수와의 곱을 연이어 적분하여,
     새로운 함수를 만들어내는 연산
     - (동적인 콘볼루션 연산 과정을 그림으로 보려면, ☞ 위키피디아 참조)

  ※  콘벌루션은 공학 또는 물리학에서 널리 활용되는 중요한 연산2. 콘볼루션의 주요 용도

  ㅇ [선형시불변시스템(LTI) 해석]
     - 입력 신호 변화에 따라 LTI 시스템이 어떻게 의존적인가를 보여줌

  ㅇ [확률 해석] 
     - 두 독립 확률변수의 합에 대한 확률밀도함수/확률질량함수를 구하는 수학적 도구

  ㅇ [다항식 곱]
     - 두 다항식 간 곱셈이 단항식들의 대수적인 합으로 표현/전개될 때,
       그 연산 과정이 이산 콘볼루션 연산(콘볼루션 합)과 똑같음


3. 콘볼루션의 수학적 표현

  ㅇ [LTI]  선형시불변시스템의 입출력 관계
     - (연속시스템)  컨볼루션 적분 (Convolution Integral, 중첩 적분)  
         

     - (이산시스템)  컨볼루션 합 (Convolution Summation, 중첩 합)   
         

        . (실제 계산 例 ☞ Convolution Summation 참조) 

     * 위에서,
        . y(t) : 출력,  x(t) : 입력,  h(t) : 임펄스응답
        . 독립변수는 t,n 이고, τ,k 는 이동 연산 과정에 쓰여지나 없어지는 임시 변수 

  ㅇ [확률]  `확률변수의 합(W = X + Y)`의 확률밀도(질량)함수
     - (연속 확률변수)  확률밀도함수
         

     - (이산 확률변수)  확률질량함수
         


4. 콘볼루션(Convolution), 상관성(Correlation)의 비교

  ※ ☞ Convolution Correlation 비교 참조
     - 두 표현식이 비슷하나,
        . Convolution 은, 연산 작용 임
        . Correlation 은, 변환 작용 임


5. 콘볼루션 연산의 성질

  ※ ☞ 콘볼루션 성질 참조
     - 교환법칙,결합법칙,분배법칙이 성립됨
     - 임펄스함수와의 콘볼루션은 자기자신이 됨
     - 서로다른 영역에서 콘볼루션 연산이 곱셈 연산과 대응하는 등


6. [LTI 입출력 관계]  선형시불변시스템(LTI)의 콘볼루션

  ㅇ `입력 신호` 및 `시스템` 간의 상호관계를 명확히 표현   ☞ 임펄스 응답 참조
     - 선형 시불변 시스템(LTI)의 성질을 나타내는 등 중요한 수학적 수단이 됨

  ㅇ 즉, LTI 시스템 응답 y(t) 가,
     - (연속시스템) 입력 x(t)와 임펄스응답 h(t)와의 합성곱 형태의 컨볼루션 적분으로 출력됨
         
[# y(t) = x(t) * h(t) = \int^{\infty}_{-\infty} x(τ)h(t-τ)dτ #]
- (이산시스템) 입력 x[n]와 임펄스응답 h[n]와의 선형결합 형태의 컨볼루션 합으로 출력됨
[# y[n] = x[n]*h[n] = \sum^{\infty}_{k=-\infty} x[k]h[n-k] #]



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