Laplace Transform   라플라스 변환

1. 라플라스 변환 이란?

  ㅇ 정상상태 또는 과도현상이 존재하는 자연현상(회로 등)의 해석을 하는데에는,
     - 복잡한 연립 미분방정식을 풀어야 하고,
     - 이 과정은 지루하고 시간소모적 임
  ㅇ 이런 미분방정식의 미분 연산자를, 
     - 간단한 대수적(4칙) 연산으로 바꾸어 주어,
     - 계산을 쉽게 하여주는 도구가, 라플라스 변환 이며,
  ㅇ 특히, 이 라플라스 변환은, 
     - 선형시스템의 해석을 일반화시키는데 도움을 줌
   

2. 라플라스 변환의 장점

  ㅇ 복잡한 미분 방정식 풀이를 간단한 대수 방정식으로 바꾸어 취급이 용이
     - 선형시불변시스템을 표현하는 상수계수를 갖는 미분방정식을 라플라스변환하면,
     - 복소변수 s에 대한 대수 방정식으로 바뀌어지어, 해를 구하기가 쉬워짐

  ㅇ 푸리에변환과는 달리, 적용 대상 신호가 광범위함
     - 적용구간에 관계없이 불안정한 시스템이나, 유한하지 않는 신호 등에도 적용이 가능

  ㅇ 초기조건 있어도 해석 용이
     - 0 이 아닌 초기조건을 갖는 미분 선형시불변시스템(LTI)의 해석도 가능
     - 즉, 특수해를 구하기 위한 초기조건을 나중에 별도 대입하지 않고, 처음부터 대입하여 해석 가능

  ㅇ 시스템에 대한 통합적 해석이 가능
     - 시스템 특성(주파수응답,안정도 등)에 대한 해석이 용이하고, 통합적 시각이 가능함


3. 라플라스 변환 표현

   
    
  ㅇ 양방향 라플라스 변환 (bilateral)
     - 라플라스 변환  
        . 독립변수 t가 적분으로 없어지고, 독립변수가 s의 함수로 바뀐 점에 유의
           .. s는 복소수 변수(s=σ+jω) 
     - 역 라플라스 변환  
        . 적분한계내의 c는 복소 적분의 수렴성을 보장하기 위해 선택되는 상수

  ㅇ 단방향 라플라스 변환 (unilateral)
     
     - 모든 신호를 인과적 신호로 한정시킴
        . 실제 물리적으로 실현 가능한 시스템 만을 대상
        . 결국, 단방향 라플라스변환은 시스템 해석을 현저하게 간편하게 함


4. 푸리에 변환 및 라플라스 변환 비교

  ㅇ 푸리에변환을 보다 일반화시킴
     - 푸리에변환에서, 복소지수함수의 지수 jω를 보다 일반적인 복소변수인 s=σ+jω로 교체하면,
     - 라플라스변환이 됨

  ㅇ 결국, 푸리에 변환 보다 더 많은 신호(계단함수,램프함수 등) 및 시스템을 취급할 수 있음


5. 라플라스변환은 미분방정식 풀이법 중 하나

  ㅇ 풀이 방법
     - 상수 계수를 갖는 선형 상미분방정식을 라플라스변환에 의해 변수 s로 된 대수방정식
       으로 변환하고,
     - 변환된 대수방정식의 해를 대수적으로 구한다음에,
     - 그 해를 다시 역변환하면 미분방정식 해를 구할 수 있음

  ㅇ 장점
     - 초기값 문제에 대해 어떤 특별한 과정 없이도 그 초기값이 포함된 해를 구할 수 있음
     - 미분방정식이 다루기쉬운 대수방정식 형태로 변환되어 풀이 및 해석이 용이함
        . 지수함수,초월함수 등의 결합을 간단한 대수적인 형으로 변환하여 취급할 수 있음
     - 비제차 미분방정식의 해를 일반해,특수해로 구별하지 않고도 풀이가 가능함


6. 라플라스 변환 관련 참고사항

  ㅇ 라플라스 변환의 수렴 가능  ☞ 라플라스 변환 가능 참조
  ㅇ 주요 함수의 라플라스 변환  ☞ 라플라스 변환쌍 참조
  ㅇ 라플라스 변환의 성질       ☞ 라플라스 변환 성질 참조