z Transform   z 변환

1. z 변환    

  ㅇ 이산시간 신호(즉,수열)을 복소평면상의 z 영역으로 변환하여 해석하는 도구

  ㅇ 이산 시스템의 입출력 관계를 쉽게 표현할 수 있게함                        ☞ 영역 변환 참조 


2. z 변환의 특징

  ㅇ 이산시스템 표현 및 해석을 단순화시켜줌
     - 수학적 취급이 간결함 (외형상 복소수나 지수함수 형태가 드러나지 않음)
     - 가감승제 정도의 계산으로 바꾸어 취급함 (차분방정식을 간단한 대수 방정식으로 변환시킴)

  ㅇ 타 변환과 밀접한 관계를 갖음
     - 연속 미분방정식의 해석             => 라플라스 변환 (연속시간)
     - 이산 차분방정식의 해석             => z 변환 (이산시간)
     - 이산시간 푸리에변환(DTFT)의 일반화 => z 변환


3. z 변환의 정의

  ㅇ z 변환
     - 단방향 z 변환
        
[# X(z) = Z\{x[n]\} = \sum^{\infty}_{n=0}x[n]z^{-n} = x[0]z^0+x[1]z^{-1}+\cdots #]
     - 양방향 z 변환
        
[# X(z) = Z\{x[n]\} = \sum^{\infty}_{n=-\infty}x[n]z^{-n} = 
                              \cdots+x[-1]z^1+x[0]z^0+x[1]z^{-1}+\cdots #]

  ㅇ 역 z 변환
       
[# x[n] = Z^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2πj} \oint_T X(z)z^{n-1}dz #]

  ㅇ z 변환쌍 관계
       
[# x[n] \overset{Z} \longleftrightarrow X(z) #]


4. z 변환의 의미

  ㅇ z 변환 X(z)에서 미지 변수 z는, 
     - 복소 변수 z = r ejω = eσ+jω의 축약 표기 임

  ㅇ z 변환에서 변환은,
     - 이산시간 신호(즉,수열)에 대한 복소주파수로의 변환이고,
     - 이는 복소 평면에서 정의됨

  ㅇ z 변환 표현식 상의 각 항에서,
     - z-1,z0,z1,...은, n=-1,n=0,n=1,...에서의 시간 위치 정보를 나타내고,
     - x[-1],x[0],x[1],...은, 각 시간에서 표본화된 진폭 크기를 나타내는 계수로 해석 가능

  ㅇ z 변환 표현식은,
     - `무한 멱급수 형태`의 `닫힌 형식(Closed Form) 표현법` 이라고 할 수 있음

  ㅇ z 변환 X(z)는 무한급수임으로 n→∞일 때, 
     - 모든 z에 대해 수렴하지 않고, 수렴영역이 존재함           ☞ z 변환 ROC 참조

  ㅇ z 변환의 역변환은,
     - 라플라스 변환 처럼 주로 부분분수 전개법에 의한 표찾기 방법에 의해 구해짐


5. z 변환에 의한 연산소자 표현

  ㅇ z 복소변수를 시간이동 요소로 간단히 적용 가능              ☞ 이산연산소자 참조
     - zk : 선행 이동, z-k : 지연 이동
       
        .  y[n] = x[n-k]  ↔  Y(z) = z-k X(z)   ( k : 지연 단위 )


6. z 변환 및 이산시간 푸리에 변환(DTFT) 관계

  ㅇ z 변환이 더 포괄적인 변환이며, DTFT는 z 변환의 특수한 경우
     - z 평면 내 크기 r = 1인 원(單位圓)에서 만 계산된 z 변환 = DTFT(이산시간푸리에변환)
     


7. [z 변환 관련 참고사항]

  ㅇ z 변환이 가능한지 여부     ☞ `z 변환 가능` 참조 

  ㅇ z 변환의 신호연산적 성질   ☞ `z 변환 성질` 참조

  ㅇ z 변환,역 z 변환의 변환쌍  ☞ `z 변환 쌍 ` 참조