Transfer Function   전달 함수

1. 전달 함수 (Transfer Function)

  ㅇ 선형시불변시스템(LTI)의 입출력 성질을, `비율`로 표현한, 함수 
     - 입출력 관계가, 복소주파수영역에서, 보기쉽게 대수적 비율(比率)로 표현된 함수

  ㅇ 표기 例)  H(s) = N(s)/D(s), G(s) = C(s)/R(s), T(s) = Vo(s)/Vi(s) 등

  ※ [참고] ☞  전달함수 주파수응답 임펄스응답 차이점


2. 전달함수의 표현 상의 특징

  ㅇ (표현 영역, 변환 영역)  비율 식으로 표현됨
     - 라플라스 변환(s 평면, 아날로그) 또는 z 변환(z 평면, 디지털)의 변환영역에서,
        . 비율 식으로 표현됨
     * (우리가 흔히 마주하는 시간 영역과는 다른 변환 영역 임)

  ㅇ (단위 또는 차원)  단위가 없는 무차원량 임
     - 실제적으로, 값의 의미는, 이득 값을 나타냄

  ㅇ (도형 표현)  주로, 블록선도에 의해 표현됨
     - [참고] ☞ 블록선도 신호흐름선도 비교 참조


3. 전달함수의 표현식

  ㅇ (표현식 특징)
      

     - 전달함수 H(s)의 표현식은,
        . `유리함수` (분수 다항식 형태) 이고,
        . 분모,분자 다항식의 각 계수 ai,bi는, `실수 계수` 이며,
        . 응용 편의상, 극점,영점으로 `인수분해된 형태`를 취함

  ㅇ (입출력 변환 比)
     - 입력,출력 시간 신호의 라플라스변환 또는 z변환의 比(유리 함수 형태)가 전달함수가 됨 
        . (연속시스템)  H(s) = L{h(t)} = L{y(t)}/L{x(t)} = Y(s) / X(s)
        . (이산시스템)  H(z) = Z{h[n]} = Z{y[n]}/Z{x[n]} = Y(z) / X(z)
     - 또는, 임펄스응답(h())의 라플라스변환(L{}) 또는 z변환(Z{})이 전달함수가 됨

  ㅇ (극점,영점)                                ☞ 극점 및 영점 참조
     - 영점 (Zero) :  z 
        . 분자 다항식 N(s)의 근(根), 이때의 크기는 0
     - 극점 (Pole) :  p 
        . 분모 다항식 D(s)의 근(根), 이때의 회로망함수 크기는 무한대
     * s 평면에서, 극점의 위치는, 시스템 응답의 특성을 결정하는 중요 요소 임

  ㅇ (특성 방정식)
     - 전달함수 분모를 0 으로하면, 이것이 특성방정식이 됨
        . 이는, 시스템 고유의 특성을 나타내는 방정식이 됨

  ㅇ (차수)  전달함수 분모(특성다항식)의 최고 차수
     - 동적시스템의 동특성(dynamic characteristics)의 복잡성 정도를 나타냄
        . 例) 0차 전달함수 시스템은 시간지연 없이 입력 즉시 출력 응답(즉응성)을 보임

  ㅇ (proper,improper : 인과성)
     - 분자 차수 ≤ 분모 차수 (M > N) => proper (진함수) => 물리적으로 실현 가능한 시스템
        . 인과 시스템 임
     - 분자 차수 ＞ 분모 차수 (M > N) => improper => 물리적으로 실현 불가능한 시스템
        . 비인과 시스템 임


4. 전달 함수의 표현 상의 한계(단점)

  ㅇ 초기조건 = 0 으로 가정됨
     - 초기조건이 0이 아니면 比 표현하기가 어려움

  ㅇ 선형시불변시스템(LTI)에 한함
     - 즉, `시변시스템` 이나 `비선형시스템`은, 전달함수로 표현 불가능

  ㅇ 시스템 입출력 관계 만 나타내므로, 
     - 내부 구조 및 상태에 대한 정보를 알 수 없음


5. 전달함수에 의한 선형시불변시스템(LTI) 표현

  ㅇ 미분방정식 → 라플라스변환 → 전달함수 → 입출력 관계가, 
     - 다루기 쉽게 대수적으로 표현됨

      

  ㅇ 서브시스템 연결 상의 편리성
     - 전체시스템을 작은 서브시스템 전달함수로 나누어 표현 가능 
     - 작은 서브시스템들이 상호연결되며 전체시스템으로 표현 가능

     - 종속 연결, 직렬 연결 (곱) :  H(s) = H1(s)H2(s)
     - 병렬 연결 (합)            :  H(s) = H1(s) + H2(s) 


6. 전달함수의 주파수영역 표현  :  주파수응답

  ㅇ 전달함수의 주파수에 따른 동작특성을 보여줌
     


7. 전달함수의 변환 관계  :  임펄스응답의 `라플라스변환` 또는 `z변환`

  ㅇ 전달함수  =  임펄스응답의 라플라스변환 또는 z변환
     
     - 즉,   H(s) = L {h(t)} 또는 H(z) = Z { h[n] }

  ㅇ 전달함수의 라플라스 역변환 또는 z 역변환  =  임펄스 응답
     - 즉,   L-1{ H(s) } = h(t)  또는  Z-1{ H(z) } = h[n]

  ※ 이들 모두 `선형시불변시스템`의 입출력 성질(이득 등)을 완전히 나타내는 함수들임


8. 회로망 전달함수  :  이를, `회로망 함수` 라고도 함

  ㅇ 전기 회로망 입출력 관계를 나타냄 
     - 전압 전달함수 (전압 이득)
     - 전류 전달함수 (전류 이득)
     - 임피던스 전달함수
     - 어드미턴스 전달함수 등

  ㅇ 例) 다음의 직렬 RLC 회로에서, H(s) = Vo(s)/Vi(s)는?
         
     - 위 회로의 입력,출력 전압에 라플라스 변환 후 KVL을 적용하면,
         
[# V_o(s) = \frac{1}{sC}I(S) \\ V_i(s) = (R+sL+1/sC)I(s) \\
            H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{I(s)/sC}{(R+sL+1/sC)I(s)} 
                 = \frac{1/sC}{R+sL+1/sC} = \frac{1}{LCs^2+RCs+1} #]