1. 운동 방정식 (Motion Equation)
ㅇ 힘이 주어질 때, 시간에 따라 물리량(위치,속도,가속도)의 운동 상태 변화를 기술하는 방정식
ㅇ 한편, 파동의 관점에서 움직임에 대한 방정식은, ☞ 파동방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 참조
2. 운동 방정식의 일반 표현식
ㅇ 표현식 : [# m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{v},t) #]
- 직간접적으로 뉴튼의 운동법칙(뉴튼의 제2법칙)으로부터 유도됨
- 뉴튼의 운동법칙(뉴튼의 제2법칙)인, 힘,질량,가속도 관계식 F = ma 로써 표현됨
- 위치,속도,시간으로 표현된 가속도에 관한 식 a(x,v,t) = F/m 으로도 표현 가능
- 수학적으로, 위치에 대한 2계 미분방정식 형태로 표현됨
- 여기서, 힘 F는 질량 m인 입자에 가해지는 힘으로써, 위치,속도,시간의 함수 임
3. 기초적인 운동 방정식의 例
ㅇ 병진 운동 : 직선 또는 곡선으로 움직이는 운동
- (힘 평형) ∑모든 외력 F = ma (F: 힘, m: 질량, a: 가속도)
. 가속도와 힘 사이의 관계식
- 주요 관련 변수 : 질량,가속도,속도,변위 등
ㅇ 회전 운동 : 고정 축 둘레의 운동
- (모멘트 평형) ∑모든 외력 T = Iα (T: 토크, I: 관성능률, α: 각가속도)
. 각가속도와 토크 사이의 관계식
- 주요 관련 변수 : 관성능률,각가속도,각속도,각변위 등
ㅇ 진동 운동 : 한정된 공간(계)에서의 주기적인 떨림
- 운동 방정식 : [# \ddot{φ}+ω^2_0\;φ=0 #]
. 진동 변위 Ψ와 고유주파수 ωo와의 관계식으로 표현됨 ☞ 조화진동 운동방정식 참조
- 주요 관련 변수 : 공진주파수,강성도,질량,변위 등
4. 최종적인 운동 방정식의 유도
ㅇ 최종적으로 유도되는 운동 방정식들은,
- 처음의 운동 방정식에서 힘(외부력,복원력 등)을 상쇄 또는 다른 물성 변수로 대체시킴
ㅇ 즉, 일정 값을 갖는 힘을 고려대상에서 빠지게 하고, (단, 마찰력 등 저항력/감쇠력은 제외)
- 주로, 물체의 성질(질량,탄성 등) 및 변위,가속도,주파수,초기조건 등 만으로 표현
ㅇ 例) ☞ 자유낙하운동, 포물선운동, 단순조화운동방정식, 2차 시스템 등 참조
ㅇ 운동 방정식의 수 : 자유도
- 주어진 문제를 풀기 위해서는 자유도와 똑같은 수의 방정식이 필요함
5. 운동 방정식의 풀이
ㅇ 운동 방정식의 풀이는,
- 운동 방정식을 만족하는 시간 t의 함수를 구하는 것
- 결국, `운동을 예측하는 것`이고, 이는 `2계 미분방정식의 해를 구하는 것`임
ㅇ 운동 방정식의 해의 형태
- 통상, 일반해로 표현되나,
- 이로부터 초기조건에 따라 구체적인 운동(궤적)을 보여주는 해(특수해)가 결정되어짐
ㅇ 고전 역학에서는,
- 물체의 운동 상태(위치 및 운동량)를 운동 방정식으로 완벽히 묘사 가능하다고 봄