Harmonic Motion Equation   조화 진동 방정식, 조화 운동 방정식

(2023-07-25)

조화진동 운동방정식, 조화운동 운동방정식, 단순 조화 운동방정식, 비감쇠 조화 운동방정식


1. (단순) 조화진동 운동방정식의 표준형2차 시스템(2계 미분방정식) 형태를 띔
      
[# \ddot{Ψ} + ω^2_o Ψ = 0 #]
- 2차 미분항 {#\ddot{Ψ}#} : 가속도 항 . 여기서, 중요 성질을 갖는 함수로써, 고유함수가 있음 ☞ 고유 함수(Eigenfunction) 참조 .. 2회 미분하여 원래의 -ωo2 상수배가 되는 함수({#\ddot{Ψ}= -ω^2_oΨ#})로써, .. 이같은 고유함수가 입력이 될 때, 그 출력은 그 고유함수의 복소 상수배가 됨 .. 이 함수의 특징으로는, 입출력 주파수 성분이 변화 없음 (그대로임) - 1차 미분항 {#\dot{Ψ}#} : 감쇠 항 => 위 단순 조화 운동방정식에는 `없음` . 따라서, `비감쇠 자유진동`을 의미함 ☞ 비감쇠 자유진동(Undamped Free Vibration) 참조 - {#ω^2_o Ψ#} : 상수 비례항 - ωo : 자연주파수 - Ψ : 변위, 시간 t의 함수 Ψ(t) ※ [명칭] 위 식을 단순 조화 미분방정식 이라고도 함 - 사인함수 또는 코사인함수 처럼 주기운동을 표현 함 2. (단순) 조화진동 운동방정식의 유도 例) 운동방정식 유도 - 후크의 법칙 (F=-kx)을 뉴튼의 운동법칙 (F=ma)에 대입하면, . m : 질량(Mass) [kg] . k : 스프링상수 또는 탄성계수 또는 강성도 . ωo = √k/m : 비제동 자연주파수(Undamped Natural Frequency) [rad/sec] 3. (단순) 조화진동 운동방정식의 특징 ㅇ (진동) : 선형 복원력을 받는 질량진동 - 의 크기 : 평형점으로부터 변위에 비례하는 을 받음 => (선형 복원력) - 의 방향 : 변위에 반대방향 => (항상 평형점을 향함) * 변위가 커질수록 그 반대 방향으로의 이 커짐 ㅇ (결합) : 두 요소가 결합된 진동 - 관성 요소 : 관성 질량 m (운동에너지를 저장 및 방출) - 탄성 요소 : 스프링 같은 탄성체 (위치에너지를 저장 및 방출) . 위치에너지 : 스프링 같은 탄성체를 변형시키는데 소요된 일 ㅇ (가속도) : 변위에 비례적이나, 방향이 반대방향 - (즉, 변위 보다 가속도위상차가 180˚ 빠름) - F = -kx = ma 에서 a = -(k/m)x ㅇ (속도) : 변위가 0 일 때 가장 크고, 변위가 가장 클 때 0 이됨 - (즉, 변위 보다 위상차가 90˚ 빠름) ㅇ (주파수) : 진동 주파수 - 만일, k(탄성계수)가 감소하거나 m(질량)이 증가하면, - 자연주파수(고유 진동수)도 감소하게 됨 - ωo = √k/m 4. (단순) 조화운동 운동방정식(미분방정식)의 해(解)미분방정식보조방정식(특성방정식) - λ2 + 0 λ + ωo2 = 0 . 보조방정식(특성방정식) : 선형 동차 미분방정식 해와 관련된 대수적 방정식 . 보조방정식 근(根) : λ=±jωo미분방정식일반해 - x(t) = A cos ωot + B sin ωot = C sin (ωot + φ) = C1ejω。t + C2e-jω。t . 변위시간의 조화함수(사인 또는 코사인함수, 또는 지수함수)로 표현됨 ㅇ 2개의 미지의 상수가 있음 - A : 코사인함수 진폭, B : 사인함수 진폭 - 또는, C : 진폭변위, φ : 위상편이 ㅇ 만일, 초기조건 x(0)=xo, x'(0)=vo 이 주어지면, - x(t) = xo cos ωot + (voo) sin ωot 5. (단순) 조화운동 운동방정식 해(解)의 모양

진동(조화운동)
   1. 단순 조화진동   2. 조화진동   3. 단조화 운동방정식   4. 기본 주파수   5. 결합(Coupling)   6. 결합 진동   7. 맥놀이   8. 비감쇠 자유 진동   9. 1 자유도 계   10. 다 자유도 계   11. 모드 해석  


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