Harmonic Motion Equation   조화 진동 방정식, 조화 운동 방정식

(2020-08-14)

조화진동 운동방정식, 조화운동 운동방정식, 단순 조화 운동방정식, 비감쇠 조화 운동방정식

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  2. 진동 용어
[진동(조화운동)]
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[진동계 例]
진동(조화운동)  1. 단순 조화진동
  2. 조화진동
  3. 단조화 운동방정식
  4. 기본 주파수
  5. 결합(Coupling)
  6. 결합 진동
  7. 맥놀이
  8. 비감쇠 자유 진동
  9. 1 자유도 계
  10. 다 자유도 계
  11. 모드 해석

1. (단순) 조화진동 운동방정식의 표준형2차 시스템(2계 미분방정식) 형태를 띔
      
[# \ddot{Ψ} + ω^2_o Ψ = 0 #]
- 2차 미분항 {#\ddot{Ψ}#} : 가속도 항 . 위 식에서, 2회 미분하여 원래의 -ωo2 상수배가 되는 함수({#\ddot{Ψ}= -ω^2_oΨ#})가 됨 . 주파수 성분은 변화없음(그대로임) . 이같은 성질을 만족하는 함수로는 `고유함수`가 있음 ☞ 고유 함수(Eigenfunction) 참조 - 1차 미분항 {#\dot{Ψ}#} : 감쇠 항 => `없음` . 따라서, `비감쇠 자유진동`을 의미함 ☞ 비감쇠 자유진동(Undamped Free Vibration) 참조 - ωo : 자연주파수 - Ψ : 변위, 시간 t의 함수 Ψ(t) ※ [명칭] 위 식을 단순 조화 미분방정식 이라고도 함 - 사인함수 또는 코사인함수 처럼 주기운동을 표현 함 2. (단순) 조화진동 운동방정식의 유도 例) 운동방정식 유도 - 후크의 법칙 (F=-kx)을 뉴튼의 운동법칙 (F=ma)에 대입하면, . m : 질량(Mass) [kg] . k : 스프링상수 또는 탄성계수 또는 강성도 . ωo = √k/m : 비제동 자연주파수(Undamped Natural Frequency) [rad/sec] 3. (단순) 조화진동 운동방정식의 특징선형 복원력을 받는 질량진동 - 의 크기 : 평형점으로부터 변위에 비례하는 을 받음 => (선형 복원력) - 의 방향 : 변위에 반대방향 => (항상 평형점을 향함) * 변위가 커질수록 그 반대 방향으로의 이 커짐 ㅇ 두 요소가 결합된 진동 - 관성 요소 : 관성 질량 m (운동에너지를 저장 및 방출) - 탄성 요소 : 스프링 같은 탄성체 (위치에너지를 저장 및 방출) . 위치에너지 : 스프링 같은 탄성체를 변형시키는데 소요된 일 ㅇ 가속도 : 변위에 비례적이나, 방향이 반대방향 - (즉, 변위 보다 가속도위상차가 180˚ 빠름) - F = -kx = ma 에서 a = -(k/m)x ㅇ 속도 : 변위가 0 일 때 가장 크고, 변위가 가장 클 때 0 이됨 - (즉, 변위 보다 위상차가 90˚ 빠름) ㅇ 진동 주파수 - 만일, k(탄성계수)가 감소하거나 m(질량)이 증가하면, - 자연주파수(고유 진동수)도 감소하게 됨 - ωo = √k/m 4. (단순) 조화운동 운동방정식(미분방정식)의 해(解)미분방정식보조방정식(특성방정식) - λ2 + 0 λ + ωo2 = 0 . 보조방정식(특성방정식) : 선형 동차 미분방정식 해와 관련된 대수적 방정식 . 보조방정식 근(根) : λ=±jωo미분방정식일반해 - x(t) = A cos ωot + B sin ωot = C sin (ωot + φ) . 변위시간의 조화함수(사인 또는 코사인함수)로 표현됨 ㅇ 2개의 미지의 상수가 있음 - A : 코사인함수 진폭, B : 사인함수 진폭 - 또는, C : 진폭변위, φ : 위상편이 ㅇ 만일, 초기조건 x(0)=xo, x'(0)=vo 이 주어지면, - x(t) = xo cos ωot + (voo) sin ωot 5. (단순) 조화운동 운동방정식 해(解)의 모양


[진동(조화운동)] 1. 단순 조화진동 2. 조화진동 3. 단조화 운동방정식 4. 기본 주파수 5. 결합(Coupling) 6. 결합 진동 7. 맥놀이 8. 비감쇠 자유 진동 9. 1 자유도 계 10. 다 자유도 계 11. 모드 해석

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