1. 라그랑지안 (Lagrangian)
ㅇ 라그랑지안 또는 라그랑지안 함수 (Lagrangian) : L
- 물리계의 동역학적인 성질을 함수로서 나타내는 물리량
ㅇ 라그랑지안 함수의 정의
- 이 함수의 정의는, `운동에너지(T)와 위치에너지(V) 간의 차이` 임 : [# L = T - V #]
- 이 함수의 독립변수는, 위치,속도,시간의 함수 임 : [# L = L(q, \dot{q}, t) #]
. {#q#} : 위치 (일반화 좌표), {#\dot{q}#} : 속도 (일반화 속도), {#t#} : 시간
ㅇ 라그랑지안 함수의 적분 => 작용, 작용량 (Action) ☞ 범함수 참조
- 무한히 많은 운동 경로를 갖을 수 있는 라그랑지안 L 함수를 적분한 것
[# J = \int^{t_2}_{t_1} L dt #]
* 이 적분량(작용량)을 최소화하는데 관심을 갖음
2. 라그랑주 방정식
ㅇ 작용(Action) J을 최소화할 때의 운동방정식
- 해밀턴 원리와 변분법을 써서 얻어지는(유도되는) 운동방정식
. 라그랑지안(에너지 관계)을 구하고,
. 이를 라그랑주 방정식(위치,속도의 시간 변화)에 대입하여, 풀어냄으로써,
. 뉴튼 역학 처럼 운동의 궤적을 얻을 수 있음
ㅇ 1 차원 라그랑주 방정식
[# \frac{d}{dt} \left( \frac{∂L}{∂\overset{·}{q}} \right) - \frac{∂L}{∂q} = 0 #]
- 라그랑지안 : {# L = L(q, \dot{q}, t) #}
ㅇ n 차원 라그랑주 방정식
- n개 좌표 q1,q2,...,qn에 의한 표현 (n개의 자유도를 갖는 계)
[# \frac{d}{dt} \left( \frac{∂L}{∂\overset{·}{q}} \right) - \frac{∂L}{∂q_i} = 0 \qquad (i=1,2,\cdots,n) #]
- 라그랑지안 : [# L = L(q_1,q_2,\cdots,q_n \,;\, \dot{q_1},\dot{q_2},\cdots,\dot{q_n} \,;\, t) #]
. {#q#} : 일반화 좌표, {#\dot{q}#} : 일반화 속도, {#i#} : 자유도
ㅇ (명칭) 라그랑주 방정식 = 라그랑지안 운동방정식 = 오일러 라그랑주 방정식
3. 라그랑주 역학
ㅇ 특징
- 뉴턴 역학은 좌표계에 의존하나, 라그랑주 역학은 좌표계에 의존 안함
- 구속조건 및 보존량을 다루기 쉬움
- 뉴턴 역학으로는 표현하기 어려운 문제도 표현 가능 (例, 양자역학 등)
※ Joseph-Louis Lagrange (1736 ~ 1813) : 프랑스의 수학자이자 천문학자
- 1770년 "대수방정식의 해법에 관한 고찰", 1788년 "해석 역학" 등 발표
- 그 이전 오일러로부터 발전된 변분법을 역학에 응용하여, 기존 뉴턴 역학을 보다 일반화시킴
4. 해밀토니안 (Hamiltonian)
ㅇ 해밀토니안 또는 해밀토니안 함수
- 물리계의 동역학적인 성질을 나타내는 함수로서의 물리량
. 운동량,위치,시간의 함수 : {# H = H(p,q,t) #}
. 계(系)의 에너지를 운동량 좌표 p 와 공간 좌표 q 로 표현한 것
* 한편,
. 라그랑주 역학은, 라그랑주 방정식을 통해 계의 방정식을 기술하여, 운동의 상태를 묘사
. 해밀토니안 역학은, 위치,운동량으로, 운동의 상태를 묘사
ㅇ 차원별 해밀토니안
- 1차원 해밀토니안 : {# H(p,q,t) = p\dot{q} - L(q,\dot{q},t) #}
- n차원 해밀토니안 : [# H = \sum_i p_iq_i - L \quad (i=1,2,\cdots,n) #]
. [#L#]
: 라그랑지안
. [# p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} #]
: 일반화 운동량
. q : 위치에 대한 일반화 좌표
※ [참고] ☞ 해밀턴 원리, 최소 작용의 원리 참조
- 운동이 취하는 경로가, 작용량을 최소화시키는 경로를 따른다는 일반 원리
. 여기서, 작용량이란? 운동에너지(T)와 위치에너지(V) 간의 차이
- 1834년 발표
※ William Rowan Hamilton (1805 ~ 1865) : 영국(아일랜드 더블린 출생)의 수학자,이론물리학자