1. 미분 (微分, Differentiation) 이란?
ㅇ 변화율을 다루는 수학의 한 분야
- 쉼 없이 변화하는 과정을 표현 가능
. 또한, 순간적인 움직임도 서술 가능
ㅇ [요약]
- 즉, `미분` = `순간변화율 (순간의 변화)` = `평균변화율의 극한값` = `접선의 기울기`
* [참고] ☞ 변화율, 극한, 기울기, 평균변화율 순간변화율 미분계수 도함수 비교 참조
2. 미분의 의의/응용 例
ㅇ ① 곡선에서 접선을 찾기 위함
- 순간 변화율, 접선의 기울기 라는 개념의 도출
- 순간 변화율은, (Rate of Change)
. 속도,가속도 등 운동의 묘사를 가능하게 함
.. 여기서, (속도 : 변위의 순간 변화, 가속도 : 속도의 순간 변화)
- 접선의 기울기는, (Slope)
. 기하학적인 관점으로, 미분을 일반화시킬 수 있게 됨
ㅇ ② 근사시키기 위함
- 곡선과 가장 가까운 근사 다항식(멱급수) 구하기 등 ☞ 테일러 다항식 등 참조
ㅇ ③ 극값(최대/최소값,극대값/극소값)을 찾기 위함
- 최적화 문제 등
. 대개, 정류점에서 상대 극값(극소값/극대값)을 갖음
.. 여기서, 정류점이란, 어떤 점 c에서 f'(c) = 0 (접선이 수평인 점)
3. 미분의 여러 다른 표기법
[# f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \dot y
= \frac{df}{dx} = \dot f = \frac{d}{dx} f(x)
= D f(x) = D_x f(x) #]
ㅇ 기호 창안자 : {# \frac{dy}{dx} #} => (Leibnitz), {# y' #} => (Lagrange), {# \dot y #} => (Newton)
4. [참고사항]
ㅇ 함수의 미분 ☞ 도함수 참조
- 극한,미분 개념을 일반적인 함수에 그대로 적용한 것
ㅇ 미분의 규칙 ☞ 미분 공식 참조
- 거듭제곱의 미분, 삼각함수의 미분, 지수함수와 로그함수의 미분, 합,곱셈,나눗셈의 미분규칙 등
ㅇ 다 변수 함수의 미분 ☞ 편 미분, 전 미분, 기울기 벡터 참조
ㅇ 평균변화율, 순간변화율, 미분계수, 도함수의 비교
☞ 평균변화율 순간변화율 미분계수 도함수 비교 참조