1. 수치 해석 (Numerical Analysis, Numerical Method, Computational Method)
ㅇ 합리적인 수준의 오차를 갖는 근사값(수치적 해)을 구하려는 알고리즘/단계/과정
- 정확한 해(解) 또는 최소,최대에 근접하는 수치적 근사값(결과)을 구하려는 체계적인 기법
ㅇ (오차에 대한 접근 방식)
- 대부분의 공학 문제에서, 해석 해를 구할 수 없고, 그에따라 정확한 오차도 모름
- 따라서, 오차에 대해서도, 근사값(근사오차)/추정값/예측값으로 문제를 다뤄야 함
※ [참고] 수치적 ↔ 해석적
2. 수치 해석의 학문적 성격
ㅇ 수학적 모델링 및 시뮬레이션을 통해, 반복 실험의 대체 수행에 필수적인 학문 분야
- 수치적 해를 구하는 알고리즘을 분석,개발,연구,발전시키는 학문
- 해의 존재성을 구체적으로 구성,증명하는 방법을 제시
- 수치적 해를 구하는 알고리즘의 수렴속도,안정성 도모 등을 해석적으로 분석
3. 수치해석의 제한(고려) 요소
ㅇ 수치의 정도가 유한 함
- 이에따라, 오차(절단 오차,반올림 오차)의 최소화 필요
- 따라서, 수치적으로 구해지는 해의 본질 및 그 전달에 대해 살펴보아야 함
* [참고] 근사적인 수치 적용의 부정확성 구분
. 모델링 오차 : 잘못된 수학적 모델링을 적용함으로 인해 발생하는 오차
. 절단오차 : 수학적 모델의 불완전성에 따른 오차
. 반올림오차 : 컴퓨터 근사에 의한 수치해법 상의 오차
ㅇ 계산량,메모리량을 줄여야 함
- 이에따라, 계산 복잡도의 최소화 필요
4. 수치 해석의 주요 문제들
※ 대부분, 근사적인 해를 구하는 문제 임
- 그 차이로는, 주로 근사 해를 구하는데 필요한 방정식을 유도하는 방식이 각기 다름
ㅇ 방정식의 근 구하기 (Method for Root of Equation)
- 例) 이분법, 뉴턴법, 할선법 등
ㅇ 곡선 적합 (Curve Fitting)
- 데이터들을 어떤 적합한 곡선(추정 곡선/함수)으로 맞추는 것
. 例) 보간법 등
ㅇ 선형 연립방정식 해법 (행렬 응용)
- 직접법 : 크래머법, 가우스소거법, LU 분해법 등
- 반복법 : Jacobi법, Gauss-Seidel법, SOR법 등
ㅇ 미분 => 차분법
- 例) 오일러법, 룬게쿠타법 등
ㅇ 적분 => 구분구적법 등
ㅇ 미분방정식/적분방정식
- 상 미분방정식 : 오일러법(접선근사법) 등
* 복잡한 미분방정식/적분방정식들에 대해서는,
. 이에 상응하는 연립대수방정식으로 바꾸어 수치적으로 풀이
- 유한 차분법 (Finite Difference Method)
. 시간 관점의 이산적 수치해법
- 유한 요소법 (Finite Element Method)
. 공간 관점의 이산적 수치해법
- 유한 체적법 (Finite Volume Method)
. 원래 미분 방정식을 각 격자마다 공간 적분해서 변형하여 풀이
.. 구하는 양의 시간적 변화를 격자의 경계선을 통과하는 유속으로 표현
ㅇ 최적화 문제 (Optimal Problem)
5. (엄밀 해 ↔ 근사 해/수치 해)
ㅇ 엄밀 해/정확한 해 (Exact Solution) 또는 해석적 해 (Analytic Solution)
- 일반 공식으로 표현 가능한 구체적인 함수를 제시할 수 있는 해석적 해
ㅇ 수치 해 (Numerical Solution), 근사 해 (Approximate Solution)
- 방정식 해를 구할 때, 구체적인 함수를 제시하는 해석적 해를 구하는 대신에,
- 수치적인 방법 만으로 구해질 수 있는 근사값(해)