Difference   차분

1. 차분 (Difference)

  ㅇ 임의 두 점에서의 함수 값들의 차이

  ㅇ 즉, 차분  :  {#f(x_i+Δx) - f(x_i)#} 또는 {#f_{k+1} - f_k#}


2. 미분(도함수)의 차분 근사

  ㅇ 차분 근사 이란? 
     * 미분(도함수)에 대한 근사를 다음과 같이 이산적(차분)으로 구함

     - (연속적) 미분(도함수)  :  
[# \frac{dy}{dx} = \lim_{Δx \to 0} 
                                    \frac{f(x_i+Δx)-f(x_i)}{Δx} #]
     - (이산적) 차분 근사     :  
[# \frac{dy}{dx} \approx \frac{Δy}{Δx} = \lim_{Δx \to 0} 
                                    \frac{f(x_i+Δx)-f(x_i)}{Δx} #]
        . 즉, 미분을, 두 점 {#(x_i,f(x_i)),\ (x_i+Δx,f(x_i+Δx))#}을 지나는,
        . 직선의 기울기로써 근사시키는 것임

  ㅇ 차분 근사 식의 종류  :  (도함수의 근사값 계산식의 종류)
     - 전향 차분 근사 (forward divided difference approximation) 
        .  {# dy/dx \approx Δy/Δx = [ f(x_i+Δx) - f(x_i) ]/Δx #}

     - 후향 차분 근사 (backward divided difference approximation)
        .  {# dy/dx \approx Δy/Δx = [ f(x_i) - f(x_i-Δx) ]/Δx #}

     - 중앙 차분 근사 (central divided difference approximation)
        .  {# dy/dx \approx Δy/Δx = [ f(x_i+Δx) - f(x_i-Δx) ]/2Δx #}

     * 각 식은, Taylor 급수 전개를 통해 유도 가능 함


3. 유한 차분법 (Finite Difference Method), 유한 차분 근사 (Finite Difference Approximation)

  ㅇ 미분방정식을, 미분(도함수)의 차분 근사에 의해 푸는, 수치해법
     - 미분방정식의 연속적인 미분 식을, 이산적인 차분 근사 식으로 근사화시켜, 해를 구함

  ㅇ 즉,
     - 관심있는 영역 내 유한개의 점들을 생성하고,
        . 이들을 격자(grid)라고 부르고, 격자의 조밀도에 따라 정확도가 증가됨
     - 서로 이웃하는 점들 간의 위치에 따른 값 변화를 이용하여, 
     - 미분방정식을 행렬방정식으로 전환시켜,
     - 수치적으로 근사화시켜 해를 구함

  ㅇ 특징
     - 편미분 방정식에서 1차 연립 방정식으로의 변환 과정이 직접적임
     - 선형 문제 만 아니라 비선형 문제에도 비교적 쉽게 적용 가능
     - 격자에 불규칙성(irregularity) 있으면, 해의 정확도와 수렴성에 영향을 미침