1. 적분 방정식 (積分方程式, Integral Equation)
ㅇ 적분 기호 안에 미지의 함수(미지수)가 포함되어 있는 방정식
[# U(x) = f(x) + λ\int^{β(x)}_{α(x)} K(x,t)u(t)dt #]
- 기지
. 여기 f(x) : 보통, 기지의 (주어진) 여기 성분
. 적분 구간 (α(x),β(x)) : 경계조건 상의 알려진 구간
. 커널 K(x,t) : 사용되는 특정 적분 방정식 마다 달라짐
. λ : 매개변수
- 미지
. 미지 함수 u(t) : 적분 기호 안에 포함되어져, 풀어야 할 미지(unknown) 함수
.. 例) 안테나 표면상에 유기되는 미지의 전류밀도 (안테나 전류분포)
.. 例) 구슬이 미끄러져 내려가는 미지의 경로의 모양
* 물리학,화학,공학 등, 유한구간 내 초기값문제를 갖는 많은 경우에서, 적분방정식이 나타남
2. 선형 적분 방정식 이란?
ㅇ 적분 방정식의 적분 내 거듭제곱, 곱셈((u(t))2) 같은 비선형적 항이 없고,
- 미지 함수 u(t)가 단순히 1차 형태로 만 들어가 있는 경우
3. (선형) 적분 방정식의 구분
ㅇ 적분 구간에 따른 분류
- 제1종 (First kind) : [# f(x) = \int^b_a K(x,t)u(t) dt #]
- 제2종 (Second kind) : [# f(x) = u(x) + \int^b_a K(x,t)u(t) dt #]
. 통상, 미분 방정식 문제를 적분 방정식 문제로 변환하는 과정에서 나타남
ㅇ 적분 구간 형태에 따른 분류
- 볼테라 적분 방정식 (Volterra Equations) : 가변 상한값 (구간 가변)
. 1종 볼테라 적분 방정식 : [# f(x) = \int^x_a K(x,t)u(t) dt #]
. 2종 볼테라 적분 방정식 : [# f(x) = u(x) + \int^x_a K(x,t)u(t) dt #]
- 프레드홀름 적분 방정식 (Fredholm Equations) : 고정 상한값 (구간 고정)
. 1종 프레드홀름 적분 방정식 : [# f(x) = \int^b_a K(x,t)u(t) dt #]
. 2종 프레드홀름 적분 방정식 : [# f(x) = u(x) + \int^b_a K(x,t)u(t) dt #]
4. (선형) 적분 방정식의 특징
ㅇ 선형 대수학의 행렬 방정식과 유사한 구조를 가짐
- 커널 K(x,t)가 행렬의 원소와 같은 역할
ㅇ 수리 물리학, 전자기학, 확률과정, 신호처리 등에서 자주 쓰임
5. 적분 방정식의 문제 例)
ㅇ 정 전기장
- `전위`가 주어지고,
- 이에따른 `전하 분포`에 대한 해를, 적분 방정식의 풀이를 통해 구하고,
- 이로부터 `정 전기장`을 구하는 문제
ㅇ 안테나 등에서의 방사 또는 산란
- 주어진 표면 상에 유기되는 미지의 전류밀도(미지 함수)를 피적분자(Integrand)로 사용하여,
- 전류밀도에 관한 적분 방정식을 얻고,
- 이를 풀어, 적분 방정식의 해(解)인 `전류밀도 분포`를 얻고,
- 이로부터 안테나 방사 전자기파를 구하는 문제
6. 적분 방정식의 풀이
ㅇ 주로, 적분 방정식을, 미지 함수에 대한 연립 선형방정식 계로 근사화시켜 풀이
ㅇ 해법으로는,
- 직접 해법
- 근사 해법 : 네우만 급수, 분해법, 수치해석법(모멘트법 등)