1. 유한 차분법 (Finite Difference Method), 유한 차분 근사 (Finite Difference Approximation)
ㅇ 미분방정식(PDE 또는 ODE)을 미분(도함수)의 이산적 근사(유한 차분)으로 바꾸어,
수치적으로 근사 해를 구하는 방법
- 연속적인 공간 또는 시간 영역을 유한 개의 점(grid point)으로 나누고,
- 미분방정식을 연립 대수방정식으로 변환하고,
. (미분 연산자를 이웃 점들의 함수값 차이(차분)로 근사시킴)
- 이를 수치해석 기법(가우스 소거법, 반복법 등)을 통해,
- 근사 해를 구함
2. 유한 차분법의 절차
ㅇ 문제 영역의 이산화 (Discretization of the domain)
- 해를 구할 구간을 일정한 간격의 점들로 나누고, 이를 격자(Grid) 또는 mesh라 함
- 격자의 간격 : h가 작을수록 근사 오차는 줄어들지만 계산량은 증가함
ㅇ 미분 항의 차분 근사 적용
- 도함수를 적절한 차분 근사식으로 대체함 (전방 차분, 후방 차분, 중앙 차분)
ㅇ 미분방정식을 연립방정식(행렬방정식)으로 전환
- 도함수를 포함한 미분방정식을 차분 근사로 대체하여 행렬방정식 형태로 표현함
. 서로 이웃하는 점들 간의 위치에 따른 값 변화를 이용하여,
. 미분방정식을 행렬방정식으로 전환시킴
ㅇ 수치해 구하기
- 연립방정식을 직접 해법(Direct Method) 또는 반복 해법(Iterative Method)으로 풀이하여
근사 해를 얻음
3. 유한 차분법의 특징
ㅇ 직관성 : 수학적으로 복잡한 변형 없이도 적용 가능
ㅇ 범용성 : 선형 문제 뿐 아니라 비선형 문제에도 적용 가능
ㅇ 정확도 : 격자 간격이 작을수록 정확도가 향상되며, 고차 차분식을 쓰면 정확도 증가
ㅇ 격자의 영향 : 격자 불규칙성 또는 경계 조건에 민감 → 정확도와 수렴성 저하 우려
ㅇ 계산 복잡도 : 격자 수가 많아지면 계산량 급증
ㅇ 경계 조건 처리 : 다양한 경계 조건 (디리클레, 노이만 등)을 비교적 쉽게 반영 가능