Finite Field, Galois Field, Galois Finite Field   유한체, 갈로아체, 갈로이스체, 갈로아 유한체

(2020-11-20)

확대체, 부분체, Galois Theory, 갈로아 이론

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1. 유한체 (Finite Field)  

  ㅇ 유한개 원소 만을 갖고, 그 안에서 대수적 구조를 형성하는 체(Field)
     - 즉, 유한체 집합 내 원소의 연산(뎃셈,곱셈) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨

  ㅇ 유한체를 `갈로이스체(Galois Field)` 라고도 불리움 
     - 갈로아 이론 : 체의 대칭성 구조를 군(Group)의 구조로 바라다볼 수 있게 한 이론
     * 갈로이스(Pierre Galois 또는 Evariste Galois,1811-1832) : 프랑스 수학자

  ㅇ 코드(부호) 등을 기술하는데 유용한 수학대수 구조(Algebraic Structure)
     - 유한체는 부호화 이론, 암호학 등에서 많이 응용되는 대수적 구조임
        . 실수체 R, 복소수체 C 등은 그 요소 수가 무한 개인 체(Field)이나,
        . 갈로이스체는 유한체(Finite Field)라고해서 그 요소 수가 유한(제한)개임


2. 유한체의 표기
                                                                   
  ㅇ q개의 원소를 갖는 유한체 표기
     -  GF(q) 또는 Fq 또는 GF(pn) 또는 (Fq)n 또는 Fqn 

  ㅇ {#GF(p^n)#} : q = pn개의 유한개 원소를 갖는 유한체(Galois체)
     -  q : 위수 (位數, Order : 유한  내 원소의 갯수)
        . 유한개 원소 수 : pn = q 개 (0 포함)
        . [참고] 유한 의 원소 수는, 
           .. 소수 또는 소수(prime power) 만 가능하다고, 갈로이스가 밝힘
        . 즉, 유한체의 크기(원소 수)는, 항상 소수 p(표수)의 거듭제곱(pn) 형태 임
     -  p : 표수 (標數, Characteristic)
        . 유한체는, 항상 양의 표수 p를 갖음
        . 여기서, p가 소수이면, 이를 소수체(Prime Field)라고 함
     -  n : 양의 정수
     -  GF(q) : 위수(order) q를 갖는 유한체


3. 유한체의 위수/길이/차수 (Order) q  (유한체 중요 성질 임)원소의 개수가 항상 소수(p)의 거듭제곱(pn=q)이 됨 (갈로이스가 밝힘)
     - 例)  GF(5),GF(8) => 유한체 존재함
     - 例)  GF(6),GF(10) => 유한체 존재 안함
     
  ㅇ 전영(0) 원소를 뺀 나머지 원소들은, 순환 군(Cyclic Group)을 이룸


4. 유한체의 표현 例) 

  ※ 유한체는, 다른 연산 형식도 가능하나, 
     - 주로 아래와 같이 모듈러 연산에 적용시켜 표현하는 경우가 많음

  ㅇ 例)  GF(2) 또는 ( {0,1}, +, x )
     - 21=2개의 유한개 원소 {0,1}를 갖는 2진 유한체 (binary field)
         
     - 성질 : (정수 modulo 2)의 환(Ring)과 같음

  ㅇ 例)  GF(2n)
     - 2n개의 유한개 원소들을 갖는 유한체
     - 원소 `0` 및 `1`로 구성된 n-tuple 로써 표현 가능
        . 즉, 

     * (7,4) 해밍코드에서, 부호화/매핑에 대한 수학 기호 표현
        . f : GF(24) → GF(27)

  ㅇ 例)  GF(3)
     - 3개의 유한개 원소 {0,1,2}를 갖는 3진 유한체 (ternary field)
      
     - 성질 : (정수 modulo 3)의 환(Ring)과 같음

  ㅇ 例)  GF(4)
     - 4개의 유한개 원소 {0,1,β,β2}를 갖는 4진 유한체 (quaternary field)
      
     - 성질 
        . (정수 modulo 4)의 환(Ring)과 같지 않음
        . x + x = 0, β2 = β + 1, β3 = 1, 
        . β4 = β2β2 = (β + 1)(β + 1) = β2 + β + β + 1 = β


5. 확대체(extension field), 부분체(subfield), 체의 확대(field extension)

  ※ 임의 정수 n에 대해 GF(p)를 GF(pn)로 확장할 수 있음

  ㅇ GF(p)의 확대체 : GF(pn)
     -  (응용에서 필수적인 개념임)

  ㅇ GF(pn)의 부분체 : GF(p) 
     - 원래의 체 안에 포함됨
     -  GF(p) 또는 GF(p1)를 소체(prime field)라고도 함

  ㅇ 체의 확대 : 부분체 및 확대체의 관계
     -  GF(pn)/GF(p)로 표기함.

     - 例) 
        . 복소수체 C는 실수체 R의 확대(C/R)
        . 실수체 R은 유리수체 Q의 확대(R/Q)
        . 또한, C/Q도 체의 확대임


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