Filter Function, Filter Transfer Function   필터 함수, 필터 전달함수, 필터 회로망 함수

1. 필터의 함수 또는 전달 함수 (Filter Transfer Function)

  ㅇ 원하는 주파수 선택성(필터설계명세)을 갖는 필터의 회로망 전달함수
     - 실제 필터 설계를 위해 적합화시킨 (필터 근사화한) 회로망 함수 형태

  ㅇ 선형 시불변 필터인 경우에, 필터 전달함수는
     - 복소주파수 s의 유리 함수(s에 의한 두 다항식의 比)로 나타냄
       
[# H(s) = \frac{D(s)}{N(s)} = a_m\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)} = \frac{a_ms^m+a_{m-1}s^{m-1}+\cdots+a_0}{s^n+b_{n-1}s^{n-1}+\cdots + b_0} #]

        . D(s) : 분자 다항식, N(s) : 분모 다항식
        . am : 상수 이득
        . zk : 영점, pk : 극점 (이 둘은 실수 또는 복소수, 복소수일 때는 공액복소수)
        . pn에서 n : 분모 차수 (필터 차수)
        . 다항식 계수 ak,bk들은, 실수이어야 함
        . 필터 회로가 안정하려면, 분모 차수 n이 분자 차수 m 보다 커야 함  :  m ≤ n


2. 필터의 차수 (Order)

  ㅇ `가파른 정도(첨예함,steepness)`을 보여줌                   ☞ 롤오프율(Roll-off Factor) 참조
     - 필터 응답의 천이대역 영역에서의 가파른 정도(첨예함,steepness)를 나타냄
        . 그 값이 (차수)가 높을수록, 기울어지는 정도(롤 오프 율)가 가파라짐 
           .. 이 경우, 이상필터 처럼 더 나은 성능을 보이지만, 구현비용이 더 많이 듬

  ※ (다음 사항들은 모두 등가적임)
     - 필터 차수
     - 필터 전달함수 : 극점의 수 
        . (즉, 전달함수의 분모 다항식 또는 특성다항식의 차수)
     - 수동 필터 : 인덕터 또는 커패시터의 수  (즉, 리액터에서, 구성 소자의 최소 수)
     - 능동 필터 : 극점(Pole)을 갖는 RC 회로의 수  (즉, RC 회로 구성에서, 커패시터의 최소 수)
     - 필터 기울기(롤오프율)를 보여줌


3. 필터의 차수별 특징

  ㅇ 1차 필터  :  L 또는 C가 1개 만 있는 수동 필터, 롤오프율 ±20 dB/decade, 위상천이 ±90˚
  ㅇ 2차 필터  :  L 또는 C가 2개 만 있는 수동 필터, 롤오프율 ±40 dB/decade, 위상천이 ±180˚
  ㅇ 3차 필터  :  L 또는 C가 3개 만 있는 수동 필터, 롤오프율 ±60 dB/decade, 위상천이 ±270˚
  ㅇ n차 필터  :  L 또는 C가 n개 만 있는 수동 필터, 롤오프율 ±n20 dB/decade, 위상천이 ±n90˚
      

  ※ 한편, 이상적인 무왜곡 전송을 위해, 주파수 응답 특성이 `상수이득` 및 `선형위상` 이어야 함 
     - 전달함수의 진폭이득 특성에서, 통과대역 내 일정 이득이어야, 진폭왜곡이 없게 됨
     - 전달함수의 위상천이 특성에서, 통과대역 내 어느정도 선형이어야, 위상왜곡이 없게 됨


4. 필터의 차수별 함수의 例

  ㅇ 1차 필터 함수
      
[# H(s) = \frac{a_1s+a_0}{s+ω_0} #]
     - 1차 필터 전달함수 LPF 例)                                                  ☞ RC LPF 참조
        
[# H(s) = \frac{1}{1+sτ} \quad \text{or} \quad \frac{ω_c}{s+ω_c} #]
 
        . (시정수 : {#τ=RC#}), (차단주파수 : {#ω_c#})
          
     - 1차 필터 전달함수 HPF 例)
        
[# H(s) = \frac{s}{s+ω_c} #]
 

  ㅇ 2차 필터 함수                                                    ☞ 2차 시스템 전달함수 참조
     

  ㅇ [일반형 (근사형태)]
     - 이상적인 필터 전달 함수에 대해 실현 가능한 근사 형태                     ☞ 필터 근사 참조
         
        . K : 이득 또는 손실 상수 (gain, loss)
        . ω : 라디안 주파수 (radian frequency)
        . ε : 리플 상수 (ripple)
        . fn(ω) : 특성 함수 (characteristic)