First-order System   1차 시스템

1. 1차 시스템의 수학적 모델링 

  ㅇ 수학적으로, `1계 미분방정식`으로 모델링 표현
      
[# \frac{dx(t)}{dt}+\frac{1}{τ}x(t)=\frac{1}{τ}f(t) \quad\text{or}\quad τ\frac{dx(t)}{dt}+x(t)=f(t) \quad\text{or}\quad \frac{dx(t)}{dt} + ax(t) = f(t) #]
     - τ : 시정수
     - 우변 f(t) : 입력 여기
     - x(t) : 출력 응답


2. 1차 시스템의 해(解) (Solution)

  ㅇ 위 1계 미분방정식을 항등적으로 만족하는 값 : (함수 형태)

  ㅇ 영상태응답에서 1차 시스템의 해 例)
      
[# x' + \frac{1}{τ}x = 0 \quad \Longrightarrow \quad x(t) = x_o e^{-t/τ} #]
     - 방사성 붕괴 : {# N(t) = N_o e^{-γt} #}
     - 1차 회로(RC 회로) : {# v(t) = v_o e^{-t/RC} #}
     - 지수확률분포 : {# p_X(x) = λ e^{-λt} #}


3. 1차 시스템의 동작 특성  :  시정수

  ㅇ 1차 시스템의 과도응답 특성은, 전적으로 `시정수 τ`에 만 의존함
     - 과도현상 지속시간  : 시정수 τ에 의해 영향받아 결정됨

     - 변동(거동) 형태    : 시간에 대해 e-αt의 관계로 진폭이 감쇠 또는 증가하며 변동
        . 감쇠율             : 지수부분의 α
        . 감쇠율의 역수 1/α : 시정수 τ

     - 시정수 값          : 통상, 3 dB Roll-off(감소되어 떨어지는 점) 점으로 정함
        . 시정수 - 대역폭 관계 : (3 dB 대역폭)  BW = 1/(시정수) = 1 / τ
        . 시정수 - 차단주파수  : fc = (ωc/2π) = 1 / τ

  ㅇ 즉, 1차 시스템의 과도응답 특성은 전적으로 시정수에 만 의존하므로,
     - 시스템 응답속도를 느리게 하려면, => 시정수 크게 함
     - 시스템 응답속도를 빠르게 하려면, => 시정수 작게 함

  ※ 한편, 2차 시스템의 과도응답 특성은 시정수에 별로 의존 않고,
     - 주로, 상승시간,정착시간,오버슈트가 중요함
     - 결국, 1차 시스템에서 만 시정수가 중요함


4. [전기계]  ☞ `1차 회로(First-order Circuit)` 참조

  ㅇ 단지 하나의 에너지 저장요소(C 또는 L) 만을 포함하는 회로
     - 즉, 커패시터 또는 인덕터가 1개 만 있는 회로 (RC 회로 또는 RL 회로)
        


5. [제어계]  `1차 제어 시스템`의 전달함수

  ※ [참고]
     - 제어계 : 제어 입력에 따라 적응적으로 출력 제어가 가능한 시스템
     - 전달 함수 : 입출력 성질을 比로써 나타낸 함수
 
  ㅇ 일반형 1차 시스템
     -  G(s) = (a1s + a0)/(s + ωc)
             = k (s + c)/(τs + 1)

  ㅇ 영점(Zero) 미포함 1차 시스템 
     -   G(s) = (1/τ)/[s + (1/τ)] = 1 / (τs + 1)
     
        . 여기서, 시정수 = τ, 극점 = -1/τ

  ㅇ 영점(Zero) 포함 1차 시스템
     - 1차 선행(lead) 시스템 
        .  G(s) = (τs + 1)
           . (미분제어 및 비례제어 요소가 병렬로 결합한 PD 제어기로써 구현 가능)

     - 1차 지연(lag) 시스템                                ☞ 지연기 참조
        .   G(s) = (s + 1)/(τs + 1) , Re(s) > -(1/τ)