Time Constant   시정수, 시상수, 시간 상수, 시간 정수

(2023-10-21)

Relaxation Time, 이완시간, 완화시간


1. 이완, 이완 시간, 시정수 이란?

  ㅇ 이완, 완화 (Relaxation)
     - 물리적 외력이 제거된 후에 변이(변형)로부터 지수적으로 정상상태로 접근해가는 거동

  ㅇ 이완 시간, 완화 시간(Relaxation Time), 재배치 시간(Rearrangement Time)  [물리 용어]
     - 섭동 후 초기값의 e-1 ≒ 37%로 감소(또는 최종값의 67%까지 증가)하기까지 걸린 시간

  ㅇ 시정수 (Time Contant)  [전기전자/기계 제어 용어]
     - 1차 시스템(1차 회로)에서 과도응답 특성을 나타내는 주요 특성 변수

  ※ (역할)
     - 초기 과도상태가 사라지며, 새 환경에 적응하는데 걸리는 시간을, 서로 비교하기 위한 척도


2. 이완 거동에 대한 수학적 표현 

  ㅇ 자연계 `1차 시스템 또는 1차 회로`에 대한 수학적 모델링 => 1계 선형 미분방정식  
       
[# \frac{\partial \rho}{t} + \frac{1}{\tau} \rho = 0 #]
ㅇ 위 미분방정식을, 변수분리법에 의해 풀이하면,
[# \ln \rho = -\frac{t}{\tau} + \ln \rho_0 \\ \rho = \rho_0 \; e^{-t/\tau} #]
ㅇ 그 량(量,{#\rho#})이 초기량({#\rho_0#})에 대해 지수적으로 감소 또는 증가하는 지수 함수 형태를 갖음 - 이때, 자연상수(e)의 지수항에 있는 시간 변수(t)를 나누는 상수({# \tau #})가, - 바로, 1차 시스템시간 과도응답 특성을 대표(결정)하는 시정수(time constant) 임 - (과도응답 : 시간이 경과함에 따라 소멸하는 응답) 3. 1차 시스템에서, 시정수(Time Constant,{# \tau #}) 이란? 1차 시스템과도응답 특성을 나타냄 - 시스템이 주어진 변화에 얼마나 빨리 응답할 수 있는가를 나타내는 파라미터 . 얼마나 빨리 정상상태에 도달할 수 있는가를 가늠하는 척도 .. 최종치의 63% 증가(또는 초기치의 37% 감소)하는데 걸리는 시간 4. 1차 시스템에서, 시정수({# \tau #}) 및 과도 현상 간의 관계과도 현상의 모양 과도 현상의 출력식 - Y : 정상상태 값, Yo+ : 초기상태 값, τ : 시정수 ㅇ 과도 현상의 동작 상의 특징 - 시정수에 전적으로 의존 . 1차 시스템 과도응답 특성은, 전적으로 시정수에 의존함 - 지수적 거동 . 시간에 대해 e-αt의 관계로 진폭감쇠 또는 증가하며 변동 . 감쇠율 : 지수부분의 α . 시정수 τ : 이의 역수 1/α - t = 0 에서 기울기 = 시정수의 역수 (1/τ) - 과도현상의 지속시간 : 시정수 τ에 의해 영향받아 결정됨 - 시정수의 값 : 통상, 교류 결합 소자에 대해 3 dB Roll-off5. 1차 시스템에서, 시정수 및 타 파라미터와의 관계RC 회로 : 회로정전용량(C) 및 저항(R)으로 구성되는 경우 - 시정수 τ = RC ㅇ RL 회로 : 회로인덕턴스(L) 및 저항(R)으로 구성되는 경우 - 시정수 τ = L/R ㅇ 시정수 - 대역폭 (차단주파수) 관계 - 3 dB 대역폭 : BW = 1/(시정수) = 1 / τ - 고역 차단 주파수 : fc ≒ 0.159/(시정수) = 0.159 / τ ㅇ 시정수 및 상승시간,정착시간 관계 - 상승시간 ≒ 시정수의 약 2.2배 = 2.2 τ - 정착시간 ≒ 시정수의 약 4배 = 4 τ 6. 2차 시스템에서, 시정수는?2차 시스템 특성은, 시정수에 별로 의존 않고, - 상승시간(즉응성/속응성 등), 정착시간(정상상태오차 등), 오버슈트 등이 더 중요함 ※ 결국, 1차 시스템에서 만 시정수가 중요함

과도 해석 (시간응답)
   1. 시간 응답   2. 정상상태 응답   3. 과도 응답   4. 시정수   5. 0차 유지   6. 1차 회로(RL,RC)   7. 1차 RC 회로의 특성   8. 2차 회로(RLC)   9. RC 위상 천이  
1차 시스템
   1. 1차 시스템   2. 시정수  


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