Filter Approximation, Filter Function Approximation   필터 근사, 필터 함수 근사

1. 필터 함수 근사법 (Approximation of Filter Function)

  ㅇ 이상적인 필터의 주파수 응답 특성은, 
     - 통과대역 및 차단대역 사이에 급격한 변동이 있게 되므로 (brick-wall,벽돌담), 
        . 이의 실현은 실제의 물리계에서는 불가능 함

  ㅇ 따라서, 이상적인 특성에 그나마 근사화된,
     - 어떤 수학적인 함수로써, 필터 함수를 찾으려고 함

  ㅇ 결국, 설계 근사화 과정 이란?
     - 필터 설계 규격 명세 특성(보통, ω의 함수로써 크기 및 위상 이 주어짐)으로부터,
     - 이러한 필터 특성에 근사적으로 맞는 필터 함수(복소주파수 s의 함수)를 찾아내는 과정임
     * 주로, 주파수영역 상의 주파수응답 중 진폭응답에 대해, 통과대역,저지대역 요구특성에 맞춰, 
       가급적, 전달 함수가 실현 가능한 적정 모양을 근사적으로 갖도록 하는 것이 관심사임


2. 필터 설계 상의 고려사항 셋(3)

  ㅇ 필터 설계 명세 (Filter Design Specification)
     - 주파수에 따른 진폭 특성 |H(jω)| 및 위상 특성 ∠H(jω)에 대한 설계 조건이 주어짐
        . 주로, 주파수응답 함수 H(jω)와 관련시켜 표현됨
           .. 통과대역,천이대역,저지대역,차단주파수 등에 대한 구체적인 조건이 제시됨

  ㅇ 필터 함수 (Filter Function) = 필터 전달 함수 (Filter Transfer Function)
     - 원하는 주파수 선택성(필터설계명세)을 갖게하는 회로 이론적인 필터 회로망 함수
        . 즉, 복소주파수 s의 함수로써의 필터 전달함수  H(s)

  ㅇ 필터 함수 근사 (Approximation of Filter Function)
     - 이상적인 특성(아마도,설계명세)에 근사화된 실제적인 필터 함수를 찾는 과정이 필요함


3. 진폭 근사법, 위상 근사법

  ※ 설계 명세로부터 실제적인 필터 함수를 찾아내도록, 진폭 및 위상 특성 곡선의 근사

  ㅇ 진폭 근사법
     - 일련의 데이터값 또는 원하는 진폭 특성 곡선 |H(jω)| 으로부터 
        . 실현가능한 필터함수 H(s)를 구하는 근사법

     - 크기 제곱 응답 또는 진폭 제곱 응답 (Magnitude Squared Response) 이라고도 함
        . 과도현상을 배제한 정상상태 하에서의 해석이므로, s = jω 관계를 유념하고,
        . 진폭의 제곱을 취하고, ω2=-s2을 대입하여 구함
          

     - 실현 가능한 필터함수 조건
        . |H(s)|가 실현가능하려면, 항상 허위츠 다항식이어야 함
           .. 다항식의 모든 근이 복소평면 좌반면에 존재하고, 허수축(jω) 상에 있지 않음

     - 例) 원하는 크기 특성에 근사 가능한 함수들의 例
        . Butterworth 함수, Chebyshev 함수, 역 Chebyshev 함수, 타원 함수 등

  ㅇ 위상 근사법
     - 例) 원하는 위상 특성에 근사 가능한 함수들의 例
        . Bessle-Thomson 함수, All-pass 함수(위상 등화에 주로 이용) 등


4. LPF 필터함수 근사법

  ㅇ 일반적으로, 
     - 우선, 저역통과필터 함수에 대해 근사법을 통해 구하게 되고, (Lowpass Prototype)
     - 이로부터, 주파수 변환에 의해 고역통과,통과대역,저지대역 등의 함수를 구하게 됨

  ㅇ (Lowpass Prototype)
     -  ω = 1 일 때,  1 Ω 소스 및 1 Ω 부하에서 동작 되도록 설계된
        . 수동, 가역적, 무손실(K=1) 2 포트 회로망

  ㅇ 근사법 적용을 위한 기본 함수
     

  ㅇ 바람직한 이상 저역통과필터를 위한 조건 (정규화된 차단주파수 ωc=1인 경우)
     -  ω > 1 일 때,      f(ω2) ≫ 1
     -  0 ≤ ω < 1 일 때,  0 ≤ f(ω2) ≪ 1