1. `Eigen` 이란?
ㅇ 독일어 형용사로써, `고유의`,`특유의`,`특성의` 등의 뜻을 갖으며,
- 고유 값, 고유 벡터는 행렬의 본성에 관한 정보를 가지고 있음을 뜻함
2. 고유값 문제 (Eigenvalue Problem)
ㅇ [선형대수]
- 고유값 문제이란? => 행렬의 고유값,고유벡터를 구하는 문제
- (문제 제시)
. 선형방정식 A x = λ x 를 만족시키는 상수 λ에 대해 0 이 아닌 벡터 x 를 찾는 것
.. 고유값(Eigenvalue) : 위 등식이 성립하게되는 λi 값
.. 고유벡터(Eigenvector) : 위 고유값 λi에 대응하는 벡터 x
.. 고유값 방정식(Eigenvalue Equation) : 위 선형방정식 A x = λ x 를 지칭
.. 행렬 A : `시스템 행렬`, `선형변환(행렬변환) 연산자` 등으로 일컬어짐
- (문제 제시 例)
. 정방행렬 A 가 주어지고, 어떤 상수 λ 에 대해 위 등식을 만족하는 자명하지
않는 해(즉, 0 이 아닌 벡터) x 를 구하라.
.. 즉, A x 가 x 의 상수배가 되는 0 이 아닌 벡터 x 의 존재여부 및 그 해를 찾음
- (풀이 순서)
. 정방행렬 (A - λI) 를 비정칙행렬이 되게하는 모든 고유치 λ 를 구하고,
. 각 λ에 대해 (A - λI) x = 0 를 만족하는 0 이 아닌 고유벡터 x 를 구하면 됨
- (응용 例)
. 행렬의 대각화 (행렬을 대각행렬로 변환)
. 또한, 행렬의 대각화와는 별개로, 행렬의 본성에 대한 다양한 정보들을 줌
. 선형 상 미분방정식의 해를 구하는데 이용되는 등
ㅇ [미분방정식]
- 미분방정식 해에 대한 특성 정보를 찾고자 함 ☞ LTI 고유함수 고유값 참조
. 고유 함수 : LTI시스템을 통과해도 기본성질이 변화하지않는 신호
.. 例) 지수 함수, 정현 함수 등
.. 만일, 입력이 정현파이면, 주파수는 입력과 동일하나, 진폭과 위상은 달라짐
. 고유값 : LTI시스템 출력은 특정값에서 고유함수의 복소 상수배가 됨
- 연립 미분방정식 해를 푸는데 응용 됨
. 편미분 방정식 해 ☞ Sturm-Liouville Problem 참조
3. 고유값 문제에서, 주요 관심 사항 例
ㅇ 공간적인 문제의 경우,
- 주로, 고유 벡터의 `방향에 만 관심이 있고`, 그 크기는 별 관심이 없음
ㅇ 시간,주파수 문제의 경우,
- 주로, 고유 함수의 주파수별로 시스템의 응답이 상수배하는 `이득에 만 관심이 있음`