Finite Field, Galois Field, Galois Finite Field   유한체, 갈로아체, 갈로이스체, 갈로아 유한체

1. 유한체 (Finite Field)  

  ㅇ 유한개 원소 만을 갖고, 그 안에서 대수적 구조를 형성하는 체   ☞ 대수 구조, 체(Field) 참조
     - 즉, 유한체 집합 내 원소의 연산(덧셈,곱셈 등) 결과가, 다시 그 집합 내에 있게됨 (닫힘성)

  ㅇ 유한체를 `갈로이스체(Galois Field)` 라고도 불리움 
     - 갈로아 이론 : 체의 대칭성 구조를 군의 구조로 바라다볼 수 있게 한 이론
     * 갈로이스(Pierre Galois 또는 Evariste Galois, 1811-1832) : 프랑스 수학자

  ㅇ 특히, 코드(부호) 등을 기술하는데 유용한 수학적 `대수 구조 (Algebraic Structure)`를 갖음
     - 유한체는 부호화 이론, 암호학 등에서 많이 응용되는 `대수적 구조`임
        . 실수체 R, 복소수체 C 등은 그 요소 수가 무한 개인 무한 체이나,
        . 갈로이스체는 유한체(Finite Field)라고해서 그 요소 수가 유한(제한)개임

  ※ 사실상, 유한체는, 응용 측면에서,
    - 유한개의 정의된 값 집합과 2개의 정의된 연산(덧셈과 곱셈) 및 그 역수들을 포함하는 집합으로,
    - 이들 산술 연산의 결과가 항상 집합 내의 값 만을 생성. 즉, 유한체 내에서만 이루어짐
    - 이같은 사실은, 코드의 유효성 보장, 코드의 오류 검출 및 수정 기능 등을 구현하는 데 중요함


2. 유한체의 표기
                                                                   
  ㅇ q개의 원소를 갖는 유한체 표기
     -  GF(q) 또는 Fq 또는 GF(pn) 또는 (Fq)n 또는 Fqn 

  ㅇ {#GF(p^n)#} : q = pn개의 유한개 원소를 갖는 유한체(Galois체)
     -  q : 위수 (位數, Order : 유한 체 내 원소의 갯수)
        . 유한개 원소 수 : pn = q 개 (0 포함)
        . [참고] 유한 체의 원소 수는, 
           .. 소수 또는 소수의 멱(prime power) 만 가능하다고, 갈로이스가 밝힘
        . 즉, 유한체의 크기(원소 수)는, 항상 소수 p(표수)의 거듭제곱(pn) 형태 임
     -  p : 표수 (標數, Characteristic). 때론, 기수(base)라고도 함
        . 유한체는, 항상 양의 표수 p를 갖음
        . 여기서, p가 소수이면, 이를 소수체(Prime Field)라고 함
     -  n : 양의 정수 (dimension)
     -  GF(q) : 위수(order) q를 갖는 유한체


3. 유한체의 위수/길이/차수 (Order) q  (유한체 중요 성질 임)

  ㅇ 원소의 개수가 항상 소수(p)의 거듭제곱(pn=q)이 됨 (갈로이스가 밝힘)
     - 例)  GF(5),GF(8) => 유한체 존재함
     - 例)  GF(6),GF(10) => 유한체 존재 안함
     
  ㅇ 전영(0) 원소를 뺀 나머지 원소들은, 순환 군(Cyclic Group)을 이룸


4. 유한체의 표현 例) 

  ※ 유한체는, 
     - 비록, 다른 연산 형식도 가능하나, 
     - 주로, 아래와 같이 모듈러 연산에 적용시켜 표현하는 경우가 많음

  ㅇ GF(2) 또는 ( {0,1}, +, x )
     - 21=2개의 유한개 원소 {0,1}를 갖는, 단순 2진 유한체 (binary field)
         

     - 성질 
        . (정수 modulo 2)의 환(Ring)과 같음

  ㅇ GF(2n) 또는 {#F^n_2#} :  대부분 응용에 사용되는, 2진 부호화 형식이 이 형태를 취함
     - `0`,`1` 2개 요소의 n-tuple로써 이루어진, n 튜플 2진 유한체 (n-tuple binary field)
        . 2n개(위수,位數 : pn = q)의 유한개 원소들이, 어떤 벡터공간을 생성(Span)함
        . {0,1} 즉, 2개의 기수(base)로써 구성되는, 2진 n-tuple 로써 표현 가능
          

     * 例)  (7,4) 해밍코드에서, 부호화(매핑)에 대해, 유한체에 의한 수학 기호 표현은,
        .  f : GF(24) → GF(27)

  ㅇ GF(3)
     - 3개의 유한개 원소 {0,1,2}를 갖는 3진 유한체 (ternary field)
      

     - 성질 
        . (정수 modulo 3)의 환(Ring)과 같음

  ㅇ GF(4)
     - 4개의 유한개 원소 {0,1,β,β2}를 갖는 4진 유한체 (quaternary field)
      

     - 성질 
        . (정수 modulo 4)의 환(Ring)과 같지 않음
        . x + x = 0, β2 = β + 1, β3 = 1, 
        . β4 = β2β2 = (β + 1)(β + 1) = β2 + β + β + 1 = β


5. [참고사항]

  ㅇ 체의 확대 (field extension) ☞ 부분체, 확대체 참조

  ㅇ 체 용어 ☞ 원시 원소 (Primitive Element) 참조

  ㅇ 부호화 이론에서 유한체의 응용 (에러정정코드) 例) ☞ BCH 부호, RS 부호, LDPC 등