Diagonal Matrix, Diagonalizable Matrix   대각 행렬, 대각화 가능 행렬

(2021-01-21)

Diagonalizable, 대각화 가능, Diagonalization, 행렬의 대각화


1. 대각 행렬 (Diagonal Matrix)주 대각선(principal diagonal) 원소들을 제외하고,
     나머지 모든 원소들이 0 인 정방행렬
     


2. 대각화 (Diagonalization)

  ㅇ 대각화 이란?
     - 대각선 성분들 만 남기고, 나머지 성분들을 모두 0 이 되도록 하는 것

  ㅇ 행렬의 대각화 
     - 임의 행렬의 좌우에 어떤 가역행렬을 곱했을 때, 대각행렬이 되게하는 것

       

     - `대각화(Diagonalize)한다` 이란?
        . 행렬 P 및 대각화원소 λi를 구하는 과정을 말함

     - `행렬의 대각화`는, `행렬의 인수분해` 라고도 함

  ㅇ 모든 행렬이 대각화 가능하지 않음
     - 주로, 정칙행렬이나 대칭행렬을 대각화시키곤 함
        .. 모든 대칭행렬은 대각화 가능 함


3. 대각화 가능 (Diagonalizable)D = P-1AP를 성립하는 정칙행렬 P가 존재하면, 
     -  n x n 행렬 A는 대각화 가능하다고 함
        .  이때, 행렬 PA를 대각화한다고 함
           ..  A : 대각화 가능 행렬(Diagonalizable Matrix)
           ..  P : 대각화하는 행렬(Diagonalizing Matrix)

  ㅇ 대각화 가능 필요충분조건
     - (n x n) 행렬 A가 k개의 선형독립고유벡터를 갖는 경우
       


4. 대각 행렬의 성질

  ㅇ 대각행렬 D정칙행렬이 될 필요충분조건
     - 주대각선의 모든 성분에서 0 이면 안됨

  ㅇ 대각행렬의 역행렬
     

  ㅇ 대각행렬의 거듭제곱
     

  ㅇ 대각행렬의 행렬곱셈
     

  ㅇ 두 대각행렬의 행렬곱셈
     

  ㅇ 대각행렬의 행렬식
     -  |D| = d1d2d3...dnD고유값주대각선 성분 d1, d2, ..., dn이 됨
     - 즉, 대각행렬의 대각성분 각각이 고유값에 해당됨

  ㅇ dj에 대응되는 고유벡터는 j열 성분이 1이고 나머지 성분들이 0 임
     



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