Symmetric Matrix   대칭 행렬

1. 대칭 행렬 (Symmetric Matrix), 반 대칭 행렬 (Skew Symmetric Matrix)

  ㅇ 대칭 행렬 
     - 대각선을 중심으로 서로 반대편의 성분들이 같은 정방 행렬
        .  (aij) = (aji)

     - 또는, AT = A 인 n x n 정방 행렬
        . 즉, 어떤 행렬이 자신의 전치와 같게되면 대칭 행렬 임

  ㅇ 반 대칭 행렬
     - 대각선을 중심으로 서로 반대편의 성분들의 부호 만 반대인 정방 행렬
        .  (aij) = -(aji)
        .  AT = -A인 n x n 정방 행렬

  ㅇ 例)
     


2. 대칭 행렬, 반 대칭 행렬의 성질

  ㅇ 대칭 행렬의 성질
     -  A + AT  =>  항상 대칭행렬이 됨
     -  A AT  =>  항상 대칭행렬이 됨
     -  A,B 대칭행렬이면,  =>  (AB)T = BA
     -  언제나 직교 대각화 가능
     -  최대 n(n+1)/2개의 서로다른 원소를 포함 가능

  ㅇ 반 대칭 행렬의 성질
     -  A - AT : 항상 반대칭행렬이 됨
     -  tr(A) = 0
        . 주대각성분이 모두 영(0)이됨


3. 정방 행렬의 표현

  ㅇ 정방행렬 A는, 대칭 행렬과 반 대칭 행렬의 합으로 표현 가능
      
[# A = \left( \frac{A}{2} + \frac{A^T}{2} \right) 
             + \left( \frac{A}{2} - \frac{A^T}{2} \right) #]
 = (대칭 행렬) + (반 대칭 행렬)