Differential Equation   미분 방정식

(2019-12-25)
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미분방정식 기초  1. 미분방정식
  2. 미분방정식 구분
  3. 미분방정식 용어
  4. 미분방정식 풀이
  5. 미분방정식 해
  6. 해적분곡선,방향장
  7. 양함수,음함수
  8. 미분 연산자
  9. 선형,비선형 미분방정식
  10. 상 미분방정식

1.  미분 방정식 (Differential Equation)


  ㅇ 미지 함수도함수를 포함하는 방정식
     - 미지의 함수 y=f(x) 와 그 도함수 dny/dxn 간에 어떤 관계를 나타내는 방정식

  ※ 18세기 스위스 수학오일러(Leonhard Euler, 1701~1783)에 의해 개발되고 발전됨


2.  미분 방정식의 통상적인 형태


  ㅇ  {# F(x,y,\frac{dy}{dx},\cdots,\frac{d^ny}{dx^n}) = 0 #} 또는 {# F(x,u,u',u'',\cdots,u^{(n)}) = 0 #}

  ㅇ  {# \frac{d^2 y}{dx^2} + 8y = 0 #}, {# u'(x) = u(x) #}, {# u''(x) + 3u(x) = e^x #} 등

     - 독립변수 : x
     - 종속변수 : y,u (즉, 미지 함수 : y=y(x),u=u(x) )
     - 미지 함수도함수 : dy/dx,y',u',u(n), 계수(상수) : n


3.  수학적 모델링과 그 풀이 및 예측
미분방정식의 역할 : 물리계,전기계,금융 등의 수학적 모델링
     - 자연계 현상의 수학적 모델링(수학적 표현)은, 주로 미분방정식으로 표현 함
        . 물리적 현상에 대한 여러 정보를 이용하여, 
        . `미분방정식` 형태와 
        . 그 `초기조건` 또는 `경계조건`을 찾아내는 과정

     - 대부분, 계속 변화되는 변화율의 관계가 방정식 내에 포함됨
        . 例) 자유 낙하 방정식 : d2y/dt2 = g
        . 例) 조화 진동 방정식 : m d2x/dt2 = - k x
        . 例) 연속 복리 계산   : dM/dt = r M

  ㅇ 미분방정식의 풀이                                 ☞  미분방정식 풀이 참조
     - 미분방정식을 만족하는, `미지 함수` = `독립변수의 연속 함수`(,解) 를 구하는 것
     - 미분방정식 해법은, 정형화되고 체계적이며 일반화된 단일 방법론은 없고, 
        . 미분방정식 형태별로 그에 맞는 해법이 개발되어 옴

  ㅇ 미분방정식의 해[수학]                             ☞  미분방정식 해 참조
     - 일반 대수방정식과는 달리, 그 이 숫자가 아닌 함수(독립변수로 구성) 형태임

     * [주요 질문]
        . 주어진 미분방정식에서 가 존재하는가? (존재성)
        . 가 존재한다면, 그 가 유일한가? (유일성)
        . 가 존재한다면, 어떤 구간에서 존재하는가? 
        . 그 를 구하는 방법은 무엇인가? (해법)

  ㅇ 미분방정식의 예측성
     - 그 풀이된 해로 자연현상을 예측할 수 있음
        . 운동예측하는 것 = 미분방정식 해를 구하는 것


4.  미분방정식의 구분


  ※ ☞ 미분방정식 구분 참조
     - 상 미분방정식, 편 미분방정식, 연립 미분방정식
     - 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식
     - 제차 선형 미분방정식, 비제차 선형 미분방정식
     - 1계 미분방정식, 2계 미분방정식(고계 미분방정식)
     - 상수계수 미분방정식, 변수계수 미분방정식
     - 특별한 이름을 갖는 미분방정식


5.  미분방정식의 용어


  ※ ☞ 미분방정식 용어 참조
     - 미분방정식 표현 형태 (양함수형, 음함수형)
     - 계수(order) 및 차수/수/지수(degree)
     - 임의 상수 (적분 상수) 등


6.  초기값 문제, 경계값 문제


  ※ ☞ 초기값 문제, 경계값 문제  참조
     - 해가 일정한 조건을 만족시키도록 요구되는 미분방정식 풀이 문제


[미분방정식 기초] 1. 미분방정식 2. 미분방정식 구분 3. 미분방정식 용어 4. 미분방정식 풀이 5. 미분방정식 해 6. 해적분곡선,방향장 7. 양함수,음함수 8. 미분 연산자 9. 선형,비선형 미분방정식 10. 상 미분방정식

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