Signal Space   신호 공간

(2020-01-16)

신호의 기하학적 표현, 신호의 벡터적 표현, Signal Set, 신호 집합, Signal Waveform, 신호 파형, Signal Vector, 신호 벡터

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1. 신호 공간 (Signal Space,Signal Set)벡터 공간벡터 처럼, 신호들이 대수적 체계를 형성하는 공간

  ㅇ 특히, 디지털통신 상의 에너지 신호들을 기하학적으로 표현하기 용이한 수학적 틀
     - 例) 디지털 변조신호 파형들이, 신호 공간에 명확히 `점` 또는 `벡터`로 표현 가능


2. 신호 파형, 신호 벡터의 표현 비교신호 파형 (Signal Waveform) 
     - 신호를, N차원 직교 함수공간에서, 정규직교화된 기저함수들의 선형결합으로 표현
         
[# s_i(t) = \sum^{N}_{j=1} s_{ij} \; φ_j(t) \quad (i = 1, \cdots \ , M) #]
. 여기서, .. 신호 파형 집합 : {# \{ s_i(t) \; | \; i = 1, \cdots ,M \} #} .. 정규직교 기저 함수 : {# \{ φ_j(t) \; | \; j = 1, \cdots ,N \} #} .. 계수 : {# s_{ij} = \int^T_0 s_{ij}(t) φ_j(t) dt #} .. M ≥ N ㅇ 신호 벡터 (Signal Vector) - 신호를, N차원 직교 벡터공간에서, 정규직교화된 기저벡터들의 선형결합으로 표현
[# \bar{s}_i = \sum^N_{j=1} s_{ij} \; \bar{φ}_j = \begin{bmatrix} s_{i1} \\ \vdots \\ s_{iN} \end{bmatrix} \qquad \left\{ \begin{matrix} i = 1,\cdots,M \\ j = 1,\cdots,N \end{matrix} \right. #]
3. 신호 공간에서, 신호 파형 및 신호 벡터 간의 등가적 관계신호 공간신호 집합의 요소들을 신호 벡터 또는 신호 파형으로 상호 등가적인 표현이 가능하며, 또한 이들 상호간에 매핑도 가능 - 즉, 신호공간에서는 유한 에너지 신호 파형을 벡터동등하게 취급함 . 例) 벡터 합 u + v시간 t에서 u(t) + v(t)로 매핑하는 함수로 취급 가능함 ㅇ 차원 (Dimension) - 벡터공간 차원 : 벡터공간에서 기저(Basis)를 이루는 기저 벡터의 수 - 신호공간 차원 : 신호공간에서 독립적인 기저 신호로 표현 가능한 수 . 독립 기저의 선형결합으로 공간 표현 .. 이때, 기저 선택이 유일하지 않음(무수히 많을 수 있음) ㅇ 내적 (Inner Product) 노름 (Norm) - 노름신호 벡터진폭으로 볼 수 있음 . 하나의 심볼 구간 동안 송신된 신호 에너지삼각부등식 (Triangular Inequality) 방향성 표현 - 벡터 : 유향선분(화살표)에 의해 표현 - 신호 : 신호위상주파수 관계로 표현 가능 ㅇ 점 표현 - 벡터벡터공간에서 기하학적으로 방향선분으로 표현하는 것 처럼, - 신호신호공간에서 유사하게 점으로 표현이 가능 4. 신호 공간 상의 신호기하학적 표현 => 성상도신호를 일반화된 신호 공간 상의 한 점으로 표시함으로써, - 신호기하학적으로 관찰 가능 . 例) 결정 신호는 한 점으로 표현, 랜덤 프로세스불규칙한 구름 처럼 표현 - 전송 신호 점 사이에 최소거리를 검토하는데 도움이 됨 ㅇ 수학적 간결성 도모 - 복수개의 신호라도 한결 간결하게 표현 가능 - 벡터적 표현을 응용하여 복잡성을 줄임


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