1. 과거, 구적법 (Mensuration, Quadrature)
ㅇ 과거, 컴퓨터 이전의 도해적인 방법
- 세밀한 모눈 종이 위에 함수 그림을 그리고,
. 그 곡선 아래 작은 정사각형 개수를 세는 등에 의함
- 즉, 기지의 충분히 작은 기본 도형으로 세분하여,
. 이들을 합하여 넓이나 부피 합을 구함
ㅇ 도해적 구적법 : 사각형 (직사각형) 적분법 (Rectangular Integration)
- 곡선 아래 분할 수직 직사각형 띠들의 면적의 합으로 적분 근사값을 구함
[# I \approx I_0 + I_1 + \cdots + I_{N-1} = \sum^{N-1}_{n=0} I_n \\
\quad = \sum^{N-1}_{n=0} (\text{width} \times \text{height})
= \sum^{N-1}_{n=0} \left[ (x_{n+1}-x_n) \times f\left(\frac{x_{n+1}-x_n}{2}\right)\right] #]
. 직사각형 각 띠의 중점이 함수 값과 일치
- 만일, 분할 구간이 n개 등간격이라면, 각 구간 함수값에 기반하여 직사각형 면적을 구함
[# \int^b_a f(x)dx \approx h \sum^{n-1}_{i=0} f(x_i)
\qquad h = (b-a)/n, \; x_i = a+ih #]
2. 현재, 수치 적분법 (Numerical Integral)
ㅇ 정적분을 수치적으로 근사함(구함)
[# I = \int^b_a f(x) dx #]
- 적분 곡선 f(x) 아래에서, x = a, x = b 선 사이의 면적을 구하는 것과 등가적임
ㅇ (용어) `근사적 정적분`, `수치 구적법(Numerical Quadrature)` 또는 `수치 정적분` 이라고도 함
ㅇ 굳이, 수치 적분을 하는 이유
- 대부분의 적분이, 다루기쉬운 기본 함수들 만으로 표현되지 않음
ㅇ 특히, 수치 적분이 필요할 때
- 함수 형태 적분 : 어떤 함수의 적분(피적분함수)을 해석적으로 구할 수 없는 경우
- 도표 형태 적분 : 피적분함수가 알려지지 않고 단지 이산 값 만이 주어지는 경우
ㅇ 핵심 원리
- 적분 구간을 작은 구간으로 나누고,
- 각 구간에서 피적분 함수를 간단한 함수 (주로 다항식)로 근사하여,
- 각 근사 함수의 적분값을 합산하는 방식으로 전체 정적분 값을 추정함
- 복잡한 함수나 수치화된 데이터들을, 적분이 용이한 다항식으로 대체하여 구함
. 피적분함수 f(x)를 근사적인 보간 다항식 p(x)로 대체하고,
. 이 p(x) 곡선과 x = a, x = b 선 사이의 면적을 구함
3. 수치 적분법 유형
ㅇ 구분구적법 (Riemann Sum) : 적분 구간을 작은 직사각형으로 나누어, 넓이 합산
ㅇ 사다리꼴 공식 (Trapezoidal Rule) : 각 소구간에서 함수를 직선으로 근사, 사다리꼴 넓이 합산
ㅇ 심프슨 공식 (Simpson's Rule) : 각 소구간에서 함수를 2차 또는 3차 다항식으로 근사, 넓이 합산
ㅇ 뉴턴-코츠 공식 (Newton-Cotes Formulas) : 등간격 점으로 피적분 함수를 보간하는 다항식을 적분
- 사다리꼴 공식과 심프슨 공식을 포함
ㅇ 롬베르크 적분 (Romberg Integration) : 사다리꼴 공식을 기반으로 오차를 줄이는 기법
ㅇ 가우스 구적법 (Gaussian Quadrature) : 미리 정해진 최적의 점과 가중치를 사용
ㅇ 몬테카를로 적분 (Monte Carlo Integration) : 무작위 추출을 기반으로 적분값을 추정하는 방법
4. 사다리꼴 공식 (Trapezoidal Rule)
ㅇ 사각형 적분법의 직사각형 띠를 사다리꼴로 대체하고,
- 각 절점 구간 마다, `양끝점간에`, `선형 다항식으로 근사`시켜, 적분을 구함
ㅇ 각 구분 조각의 끝을 연결하는 일련의 선분으로 근사시키고,
- 각 구분 조각의 양끝점 함수값들의 산술평균을 높이로 삼음
ㅇ 즉,
- 각 부분 구간 : {# w = (b-a)/n, \quad x_i = a + iw \quad (i=0,1,2,\cdots,n) #}
- 각 구분 사다리꼴 면적 : {# A_i = \frac{1}{2} w [f(x_{i-1})+f(x_i)] #}
ㅇ 각 부분 조각의 수를 늘림으로써, 실제 적분값에 근접하는 근삿값을 얻을 수 있음
5. 심슨 공식 (Simpson 공식, Simpson Rule)
ㅇ 한번에 세 절점 및 두 부분 구간으로 나누고,
ㅇ `3개 점간에`, `2차 보간 다항식으로 근사`시켜, 적분하는 법
ㅇ 사다리꼴 공식의 확장 임
6. 뉴튼 코츠 공식 (Newton-Cotes Formula)
ㅇ 등간격 점을 사용하여,
- 피적분 함수를 적분하기 쉬운 보간 다항식으로 근사하여 정적분 값을 계산
. 이미 알고있는 적분 공식을 이용하여, 같은 간격을 갖는 점들에서,
. 주어진 피적분함수로부터 근사적인 적분값 얻음
[# I = \int^b_a f(x)dx \approx \int^b_a p_n(x)dx \\
\quad p_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n #]
ㅇ 보간 다항식의 차수 n에 따라 다양한 적분 공식이 파생됩
- n = 0 : 직사각형 적분법
- n = 1 : 사다리꼴 공식 (Trapezoidal Rule) - 선형 보간
- n = 2 : 심프슨 1/3 공식 (Simpson's 1/3 Rule) - 2차 보간
- n = 3 : 심프슨 3/8 공식 (Simpson's 3/8 Rule) - 3차 보간
- n = 4 : 불 공식 (Boole's Rule) - 4차 보간 등
- 가우스 적분 : 2n−1차까지 정확 (노드와 가중치 필요)
7. 가우스 구적법
ㅇ 등 간격이 아닌 절점을 선택하여 구하는 방법
- 영역 내 지정된 점에서, 가중치의 합으로 함수의 적분값을 구함
8. 롬버그 적분법 (Romberg's integration, Richardson's extrapolation, 롬버그 外揷法)
ㅇ 사다리꼴 공식에 외삽 공식을 사용하여 실제 오차를 감소시켜 더좋은 적분 근사값을 얻는 방법
9. 몬테칼로 적분 (Monte Carlo Integration)
ㅇ 모의 실험을 통해 함수의 적분값을 추정하는 방법
ㅇ (편집중)