1. 수치 적분 (Numerical Integral)
ㅇ 정적분을 수치적으로 근사하는(구하는) 문제
ㅇ 수치 적분을 하는 이유
- 대부분의 적분이, 다루기쉬운 기본함수들 만으로 표현되지 않음
ㅇ 특히, 수치 적분이 필요할 때
- 함수 형태 적분 : 어떤 함수의 적분(피적분함수)을 해석적으로 구할 수 없는 경우
- 도표 형태 적분 : 피적분함수가 알려지지 않고 단지 이산 값 만이 주어지는 경우
2. 근사적 정적분 이란?
ㅇ 정적분의 근사값을 구하는 것
[# I = \int^b_a f(x) dx #]
- 적분 곡선 f(x) 아래와 x=a,x=b 선 사이의 면적을 구하는 것과 등가적임
ㅇ (용어) `수치 구적법(Numerical Quadrature)` 또는 `수치 정적분` 이라고도 함
※ 구적법 (Quadrature)
- 기지의 충분히 작은 기본 도형으로 세분하여 넓이나 부피 합을 구함
- 과거, 컴퓨터 이전의 도해적인 방법으로,
. 세밀한 모눈 종이 위에 함수 그림을 그리고,
. 그 곡선 아래 작은 정사각형 개수를 세는 등
3. 도해적 구적법 : 사각형 적분법 (Rectangular Integration)
ㅇ 도해적인 구적법을 사용한 수치적인 해법
ㅇ 곡선 아래 분할 수직 직사각형 띠들의 면적의 합으로 적분 근사값을 구함
[# I \approx I_0 + I_1 + \cdots + I_{N-1} = \sum^{N-1}_{n=0} I_n \\
\quad = \sum^{N-1}_{n=0} (\text{width} \times \text{height})
= \sum^{N-1}_{n=0} \left[ (x_{n+1}-x_n) \times f\left(\frac{x_{n+1}-x_n}{2}\right) \right] #]
- 직사각형 각 띠의 중점이 함수 값과 일치
4. 개선된 적분법
※ (요약)
- 복잡한 함수나 수치화된 데이터들을, 적분이 용이한 다항식으로 대체하여 구하는 방법
- 기본적으로,
. 피적분함수 f(x)를 근사적인 보간다항식 p(x)로 대체하고,
. 이 p(x) 곡선과 x=a,x=b 선 사이의 면적을 구함
ㅇ 뉴튼 코츠 공식 (Newton-Cotes Formula)
- 이미 알고있는 적분 공식을 이용하여, 같은 간격을 갖는 점들에서,
주어진 피적분함수로부터 근사적인 적분값 얻음
[# I = \int^b_a f(x)dx \approx \int^b_a p_n(x)dx \\
\quad p_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n #]
ㅇ 사다리꼴 공식 (Trapezoidal Rule)
- 사각형 적분법의 직사각형 띠를 사다리꼴로 대체하고,
. 각 절점 구간 마다, `양끝점간에`, `선형 다항식으로 근사`시켜, 적분을 구함
- 각 구분 조각의 끝을 연결하는 일련의 선분으로 근사시키고,
. 각 구분 조각의 양끝점 함수값들의 산술평균을 높이로 삼음
- 즉,
. 각 부분 구간 : {# w = (b-a)/n, \quad x_i = a + iw \quad (i=0,1,2,\cdots,n) #}
. 각 구분 사다리꼴 면적 : {# A_i = \frac{1}{2} w [f(x_{i-1})+f(x_i)] #}
- 각 부분 조각의 수를 늘림으로써, 실제 적분값에 근접하는 근삿값을 얻을 수 있음
ㅇ 심슨 공식 (Simpson 공식, Simpson Rule)
- 한번에 세절점 두 부분 구간으로 나누고, `3개 점간에`, `2차 보간 다항식으로 근사`시켜,
적분하는 법
- 사다리꼴 공식의 확장
ㅇ 가우스 구적법
- 등 간격이 아닌 절점을 선택하여 구하는 방법
- 영역 내 지정된 점에서, 가중치의 합으로함수의 적분값을 구함
ㅇ 롬버그 적분법 (Romberg's integration, Richardson's extrapolation, 롬버그 外揷法)
- 사다리꼴 공식에 외삽 공식을 사용하여 실제 오차를 감소시켜 더좋은 적분 근사값을 얻는 방법
5. [기타]
ㅇ 몬테칼로 적분 (Monte Carlo Integration)
- 모의 실험을 통해 함수의 적분값을 추정하는 방법