1. MIMO 시스템의 모델화
ㅇ MIMO 시스템은, 공간적으로 분리된 복수의 안테나를 동시에 활용함으로써,
- 통신 용량 및 신뢰성을 크게 향상시킴
ㅇ 실제 무선 환경의 복잡성(다중경로 페이딩, 간섭, 공간 상관성 등)을 정확히 반영하기 위해,
- 행렬 대수, 확률 통계, 정보 이론 등을 기반으로 한 수학적 모델링이 필수적임
2. MIMO 시스템의 모델 : (송신,수신 신호 간의 수학적 구조)
ㅇ 벡터,행렬 표현
[# \mathbf{r} = \mathbf{H}\mathbf{s} + \mathbf{z} #]
- {# \mathbf{r} = [r_1,\cdots,r_{N_r}]^T #} : 수신 신호 벡터
- [# \mathbf{H} = \begin{bmatrix} h_{11} & \cdots & h_{1N_t} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
h_{N_r1} & \cdots & h_{N_rN_t}
\end{bmatrix} #]
: 채널 행렬 ({#N_r \times N_t#} 복소수 행렬)
. 송신 안테나와 수신 안테나 간의 신호 경로
. hij : j번째 송신 안테나와 i번째 수신 안테나 간 복소 채널 응답
. 다중경로, 페이딩, 간섭, 도플러 효과 등에 의한 신호 감쇠 및 위상 변화를 반영
. 채널 행렬의 랭크(rank)가, 공간 다중화 이득을 결정
.. 채널의 랭크가 클수록, 더 많은 데이터를 동시에 전송 가능
- {# \mathbf{s} = [s_1,\cdots,s_{N_t}]^T #} : 송신 신호 벡터
- {# \mathbf{z} = [z_1,\cdots,z_{N_r}]^T #} : 잡음 벡터
. 통상, 정규분포(가우시안분포) N(0,σ2)으로 모델링
- {#N_t#} : 송신 안테나 개수
- {#N_r#} : 수신 안테나 개수
ㅇ 스칼라 신호 표현
[# r_i = \sum^{N_t}_{j=1} h_{ij}s_j + z_i \quad (i=1,2,\cdots,N_r) #]
- {#r_i#} : i번째 수신 안테나에서 수신된 신호
- {#h_{ij}#} : j번째 송신 안테나와 i번째 수신 안테나 간의 복소수 채널 응답
. (전파 경로 특성)
- {#s_j#} : j번째 송신 안테나에서 송신 신호
- {#z_i#} : i번째 수신 안테나에서의 가산 백색 가우시안 잡음(AWGN)
3. MIMO 시스템의 채널 모델 : (채널 특성에 대한 수학적 구조)
※ 채널 행렬 H의 통계적 특성(공간 상관성, 랭크 구조)에 따라, 아래와 같이 채널 모델 분류 가능
- 각 모델의 해석은,
- 복소수 확률 행렬론(복소 가우시안 분포, 공분산 행렬, Kronecker 곱 등)을 기반으로
- 수학적으로 다루어짐
ㅇ iid (independent and identically distributed : uncorrelated) MIMO channel model
- 송수신 안테나 간 상관성 없음 (독립 동일 분포)
. 충분한 안테나 간격 ≥ λ/2 (반파장 이상) → 공간 상관성 무시 가능
. 풍부한 산란체(rich scattering) 환경
. 직접 가시선(LOS) 성분 없음
- 채널 용량 (iid 조건의 이론적 상한) : {# C_{\text{i.i.d.}} \approx \min(N_t, N_r) \cdot
\log_2\!\left(1 + \text{SNR}\right) #}
. 안테나 수 최솟값에 선형 비례하면서, 채널 용량 증가 (이상적 공간 다중화 이득)
. 이론 분석의 기준점(baseline)으로 가장 널리 사용되는 모델
ㅇ fully correlated MIMO channel model
- 송신 또는 수신 안테나 간 완전 상관성
. 단일 평면파(plane wave)만 존재하는 환경
. 안테나 간격이 극히 좁거나, 산란체가 전혀 없는 환경
. 공간 다중화 이득 = 0, 어레이 이득만 존재
- 채널 용량 : {# C_{\text{full}} = \log_2\!\left(1 + N_t N_r \cdot \text{SNR}\right) #}
ㅇ Kronecker (separately correlated) MIMO channel model
- 송신측,수신측 상관성을 분리하여 모델링 (분리 상관성)
. 송수신 상관이 독립적이라는 가정 → 실제 환경에서는 성립하지 않을 수 있음
. 송수신 간 상호 상관(joint correlation)을 반영하지 못함
- 채널 용량 : {# C_{\text{Kron}} = \log_2 \det\!\left(\mathbf{I}_{N_r} + \frac{\text{SNR}}
{N_t}\, \mathbf{R}_r^{1/2} \mathbf{H}_w \mathbf{R}_t \mathbf{H}_w^H
\mathbf{R}_r^{1/2}\right) #}
. 송신단 CSI 없는 경우 (균등 전력 배분)
ㅇ keyhole (rank deficit) MIMO channel model
- 전파 경로의 물리적 제약으로 인한 랭크 결핍
- 채널 용량 : {# C_{\text{keyhole}} = \log_2\!\left(1 + \|\mathbf{h}_r\|^2
\|\mathbf{h}_t\|^2 \cdot \frac{\text{SNR}}{N_t}\right) #}
4. MIMO 시스템의 채널 용량
ㅇ MIMO 채널 용량은, 단순 SISO (Single-Input Single-Output) 보다 훨씬 큼
- SISO : {# C = \log_2(1 + \text{SNR}) #}
- SIMO (1×Nr) : 어레이 이득 + 공간 다이버시티 이득 (수신 다중 안테나)
- MISO (Nt×1) : 공간 다이버시티 이득 + 빔포밍 이득 (송신 다중 안테나)
- MIMO (Nt×Nr) : 위 셋 모두 가능
. 단, 다이버시티 ↔ 다중화는 트레이드오프 관계
. {# C \approx \min(N_t, N_r) \cdot \log_2(1 + \text{SNR}) #} (iid 조건)
ㅇ SVD 기반 병렬 부채널 용량
[# C = \sum^n_{i=1} \; \log_2 (1+λ_i · SNR/N_t) #]
- {#λ_i#} : 채널 행렬 {#\mathbf{H}\mathbf{H}^H#}의 I번째 고유값
- {#n#} : rank(H) ≤ min(Nt, Nr), 독립 부채널 수
ㅇ 채널 용량에 영향을 미치는 주요 인자
- 채널 행렬의 랭크 : 높을수록 독립 부채널 수 증가 → 용량 증가
- 공간 상관성 : 안테나 간격 협소 시 상관성 증가 → 유효 랭크 감소 → 용량 감소
- SNR : 저 SNR → 다이버시티 이득 중시, 고 SNR → 다중화 이득 중시
- 채널 추정 오차 : CSI (채널 상태 정보) 불완전 시 용량 손실 발생
- 송신단 CSI 가용성 : 워터필링 적용 가능 여부 → 전력 배분 최적화로 용량 이득