1. 곡면 (Surface, 曲面) 이란?
ㅇ 직관적으로는, 입체의 표면을 말함
- 통상, 평면을 포함하나,
- 주로, 평평하기만 않고 굽은 면도 포함하여 총칭
ㅇ [물리/화학]
- 계면 (界面, Interface)
. 여러 다른 상(相) 사이에 생기는 경계면 (Inter Phase)
. 서로 다른 재료의 표면들이 만나는 곳
- 표면 (表面, Surface)
. 고체와 액체,기체,고체 간의 경계면으로,
. 고체 내 벌크 영역과는 다른 조성을 보이는 극히 작은 일부분
. 통상, 수~수십 옹스트롬(Å) 두께의 표피 원자층
ㅇ [수학]
- 굳이, 어떤 것의 표면일 필요는 없으며,
- 대개, 매개화된 곡선(Parametric Curve) 처럼 매개화된 곡면(Parametric Surface)을 말함
2. [수학] 구면 (Spherical Surface, 球面)
ㅇ 공간의 중심(곡률 중심점)에서 일정 거리에 있는 점들의 전체 집합
- 반지름(Radius) : 구면과 곡률중심점 사이의 거리 (곡률반경)
- 곡률(Curvature) : 구면의 반지름의 역수
ㅇ 3 차원 구면 방정식
- 중심이 C(h,k,l)이고, 반지름 r인 구면 방정식
{# (x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-l)^2 = r^2 #}
- 중심이 원점인 구면 방정식
{# x^2 + y^2 + z^2 = r^2 #}
3. [수학] 주면, 2차 곡면
ㅇ 주면 (Cylindrical Surface)
- 평면 상 곡선에 수직하게 공간쪽으로 퍼진 곡면
- 포물주면 (Parabolic Cylinder) : 같은 포물선이 무수히 많이 복사되어 만들어진 곡면
ㅇ 2차 곡면 (Quadratic Surface)
- 3차원 공간에서, 세 변수(x,y,z)에 대한 이차 방정식으로 나타낼 수 있는 곡면
. 즉, 2차 형식(Quadratic Form)의 방정식으로 표현되는 곡면
. {# ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = 0 #}
- 특징
. 모든 곡면은 축에 대칭적임
. 대부분, 폐 곡면(Closed Surface)을 이룸
4. [수학] 2차 곡면의 표준 기본형 6가지 例
ㅇ 타원면 (Ellipsoid)
[# \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 #]
- (대칭적)
. {# x^2,y^2,z^2 #}을 포함하므로, xy,yz,zx 평면에 대해 대칭적임
. 또한, 원점에 대해서도 대칭적임
- xy,yz,zx 평면과의 교선이 타원이 됨
- 한편, 구면은 타원면의 특별한 경우로 간주됨
ㅇ 타원 포물면 (Elliptic Paraboloid)
[# \frac{z}{c} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} #]
- 수평 투영은, 타원이 되고, 수직 투영은, 위로 열린 포물선이 됨
ㅇ 쌍곡 포물면 (Hyperbolic Paraboloid)
[# \frac{z}{c} = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} #]
- 원점 근처의 곡면이 말 안장 처럼 생김
ㅇ 원뿔면 (Conic Surface)
[# \frac{z^2}{c^2} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} #]
ㅇ 일엽 쌍곡면 (Hyperboloid Of One Sheet)
[# \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 #]
- 잘롯한 허리를 갖음
ㅇ 이엽 쌍곡면 (Hyperboloid Of Two Sheet)
[# \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 #]
※ [그림참고] ☞ http://www.supermath.info 참조