Invertible Matrix Theorem   가역행렬 정리

1. 가역행렬 정리

  ㅇ `행렬 A가 n x n 크기의 가역행렬` 이면, 다음의 정리들은 모두 동치임

     -  A가 n x n 크기의 가역행렬

     -  A가 n x n 항등행렬 I과 행동치

     -  A의 기약행사다리꼴로의 변환은 항등행렬 I이 됨

     -  A는 기본행렬들의 곱으로 표현 가능

     -  A가 n개 추축위치(선행성분)를 갖음
        . 추축 (Pivot) : 행렬의 각 행에서 처음으로 `0`이 아닌 성분
        . 추축 위치 (Pivot Position) : 행 사다리꼴 행렬에서 추축의 위치
        . 행 사다리꼴 행렬 : 선행 성분 아래 성분들이, 모두 `0` 

     -  Rn의 모든 b에 대해, A x = b는 유일한 해를 갖음

     -  방정식 A x = 0는 자명한 해 (자명해) 만을 갖음

     -  A의 열(또는 행)들은 일차독립 집합을 이룸

     -  A의 열(또는 행)들은 Rn을 생성(Span)함

     -  A의 열(또는 행)들은 Rn의 기저를 이룸

     -  선형변환 는 일대일 관계

     -  선형변환 는 Rn 위로 사상(寫像)함

     -  B A = I를 만족하는 n x n 행렬 B가 존재함

     -  A C = I를 만족하는 n x n 행렬 C가 존재함

     -  AT도 가역행렬임

     -  행렬식 det (A) ≠ 0

     -  랭크 Rank (A) = n

     -  영공간 Nul (A) = {0}

     -  차원 dim Nul (A) = 0

     -  Col (A) = Rn

     -  dim Col (A) = n


2. 가역행렬 정리의 활용

  ※ 정방행렬이 가역행렬이 되기 위한, 여러 필요충분조건들을 제시함으로써,
     - 정방행렬의 가역성을 판단하는데 도움이 되는 다양한 기준을 제공

  ㅇ 예로써,
     - 연립 일차방정식의 해를 구할 때, 행렬의 가역성을 판단, 해의 존재 유무와 유일성을 확인 가능
     - 역행렬을 이용하여 연립방정식을 풀거나, 
     - 선형 변환의 역변환을 찾을 수 있는 등