Function of Many Variables, Multivariate Function   다 변수 함수, 다 변량 함수

1. 일 변수 함수, 이 변수 함수, 삼 변수 함수, 다 변수 함수

  ㅇ 일 변수 함수  :  y = f(x)
     - 독립 변수가 1개 만의 (1개의 변수에 만 의존하는) 함수
  ㅇ 이 변수 함수  :  z = f(x,y)
  ㅇ 삼 변수 함수  :  u = f(x,y.z)
  ㅇ 다 변수 함수  :  v = f(x,y.z,...)
     - 2 이상의 변수를 갖는 (2 이상의 변수에 의존하는) 함수


2. 다 변수 함수 (Function of Many Variables, Multivariate Function)            ☞ 장(Field) 참조

  ㅇ 2 이상의 변수를 갖는 함수  :  {# f(x_1,x_2,\cdots,x_n) #} 
     - 例)  {# f(x_1,x_2) = x_1^2 + 2x_2^2 -x_1x_2 #}

  ㅇ 다대일 매핑 (多:1) 함수
     - 여러 값이 어우러져 (입력), 단일 값을 생성 (출력)

  ㅇ [참고]
     - 다 변수 함수의 미분  => 편 미분
        . 극대,극소의 위치를 찾는 등에 유용
     - 다 변수 함수의 적분  => 중 적분
        . 부피,질량,질량중심 등을 구하는데 이용
     - 다 변수 함수의 표현  => 스칼라 함수(스칼라장), 벡터 함수(벡터장)
        . 변수가 2개 이상이고, 함수값이 스칼라 (벡터)인, 다 변수 스칼라 함수 (다 변수 벡터 함수)
        . 공간에서 위치,시간 등에 따라 그 성질이 달리 나타날 때 유용
     - 다 변수 함수의 각 점에서의 미분 표현  => 기울기 벡터
        . 각 변수의 변화율을 한 번에 계산하여, 국소적인 변화를 효율적으로 나타내는데 유용


3. 이 변수 함수 (Function of Two Variables)

  ㅇ 2개의 변수에 의존하는 함수

  ㅇ 정의역 D ⊂ R2에 속하는 실수의 2개 순서쌍 (x,y)에 1개 실수 f(x,y)를
     대응시키는 규칙 (이대일 매핑, 2:1)
     -   f : R2 → R

  ㅇ 이 변수 함수의 그래프 표현
     - 3차원 공간에서 xy 평면 위쪽으로 펼쳐진 곡면
        . z = φ(x,y)  즉, 각 점 (x,y)에서 함수 φ가 주게되는 z의 값

     - 한편, 이 변수 함수의 3차원 그래프 표현은,
        . 2차원 등위곡선을 이용하면 편리함

  ㅇ 이 변수 함수의 그래프 例
      


4. 삼 변수 함수

  ㅇ 3개의 변수에 의존하는 함수

  ㅇ 정의역 D ⊂ R3에 속하는 실수의 3개 순서쌍 (x,y,z)에 1개 실수
     f(x,y,z)를 대응시키는 규칙 (삼대일 매핑, 3:1)
     -   f : R3 → R

  ㅇ 삼 변수 함수의 그래프 표현 : 가시적 표현이 불가능
     - 독립변수가 3개 이상이면, 사차원 이상인 공간에 표시해야 하므로, 현실적으로 그릴 수 없음


5. 다변수 함수의 공간적 특성 표현

  ㅇ 등위선(Level Curve), 등위면(Level Surface)
     - 함수값들이 같은 점들이 모여서 나타낸 선 또는 면

  ㅇ 기울기 벡터 (Gradient Vector)
     - 다변수 함수에서 각각의 축 방향의 기울기를 원소로 갖는 벡터를 말함

  ㅇ 방향 도함수 (Directional Derivative)
     - 다변수 함수에서 모든 방향의 변화율을 계산할 수 있게 해주는 편도함수의 일종

  ㅇ 다변수 함수의 적분 ☞ 다중 적분 참조

  ㅇ 기타 특성 표현 ☞ 발산, 회전(컬) 참조

  ※ 주요 관련 정리들 ☞ 그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리 참조